Conjectura lui Erdő asupra progresiilor aritmetice

Conjectura lui Erdős asupra progresiilor aritmetice [1] este o ipoteză în combinatorică aditivă , formulată de Pal Erdős , conform căreia, dacă suma reciprocelor numerelor naturale pozitive ale unei anumite mulțimi diverge, atunci mulțimea conține progresii aritmetice arbitrar lungi .

Formal, dacă:

\sum _{{n\in A}}{\frac {1}{n}}=\infty

adică un număr mare $A$ , apoi conține o progresie aritmetică de orice lungime predeterminată. $A$

Erdős a promis la un moment dat un premiu de 3 mii de dolari SUA pentru probarea ipotezei [2] , din 2008, a fost stabilit un premiu de 5 mii de dolari SUA [3] .

Relația cu alte revendicări

Consecințele ipotezei

Conjectura Erdős este o generalizare a teoremei Szemeredi (deoarece seria diverge ca una armonică ), precum și a teoremei Green-Tao (din moment ce suma , unde însumarea este peste numere prime, diverge și ea [4] ). $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn)}={\frac {1}{k))\left({\sum \limits _{n =1}^{\infty }{\frac {1}{n))}\right)$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p)}$

Afirmații din care decurge ipoteza

Având în vedere echivalenţa cu discrepanţa , conjectura lui Erdő poate fi dovedită dacă se dovedeşte că . $\sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k))(4^{t))))$ $\forall k\geq 3:\\forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\ varepsilon }}}\right)$

Totuși, în momentul de față s-a dovedit doar [5] că , unde , și de asemenea, într-un caz anume , că . $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}))^{c_{k})))\right)$ $c_{k}=2^{-2^{k+9)}$ $k=3$ $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N)}}{\log {N}}))\right)$

Note

↑ Ipoteza este uneori confundată cu ipoteza Erdős-Turan.
↑ Bollobas, Bela . Pentru a demonstra și a presupune: Paul Erdős și matematica sa (engleză) // American Mathematical Monthly : jurnal. - 1988. - Martie ( vol. 105 , nr. 3 ). — P. 233 . — .
↑ Soifer, Alexander (2008); Cartea de colorat matematică: matematica colorării și viața plină de culoare a creatorilor săi; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
↑ M. Aigner, G. Ziegler, „Dovezi din carte” - M. „Mir”, 2006, p. 13
↑ Shkredov, 2006 , p. 115-116.

Link -uri

P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Arhivat 28 aprilie 2016 la Wayback Machine , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. Nu. 24, pp. 7,
P. Erdős: Probleme în teoria numerelor și combinatorică, Proc. A șasea Conf. Manitoba. pe Num. Matematică, numărul congresului. XVIII (1977), 35-58.
P. Erdős: Despre problemele combinatorii pe care mi-aș dori cel mai mult să le văd rezolvate, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007/BF02579174
I. D. Shkredov. Teorema lui Szemeredi și probleme privind progresiile aritmetice // Uspekhi Mat. - 2006. - T. 61, nr. 6(372). - S. 111-178. - doi : 10.4213/rm5293 .