Sfera omologică
O sferă de omologie este o varietate X n - dimensională cu omologie asemănătoare cu cea a unei sfere n - dimensionale . Acesta este
H 0 ( X , Z ) = Z = H n ( X , Z ),
și
H i ( X , Z ) = {0} pentru toate celelalte i .
Exemple
- sfera Poincaré
- Sferele Brieskorn Σ( p , q , r ), adică intersecția unei sfere mici de 5 dimensiuni cu soluția ecuației x p + y q + z r = 0 la coprim p , q și r . Sunt sfere omoloage. Mai mult, Σ(1, 1, 1) este homeomorf pentru sfera standard și Σ(2, 3, 5) pentru sfera Poincare. Dacă , atunci acoperirea universală Σ( p , q , r ) este homeomorfă spațiului euclidian,
Proprietăți
- Sfera omologică este conectată.
- Grupul fundamental al sferei omologice coincide cu comutatorul său.
- Lasă . Un grup este un grup al unei sfere omologice n - dimensionale dacă și numai dacă [1] :
- desigur dat ;
- ;
- .
- Un grup este un grup de o sferă omologică
cu 4 dimensiuni dacă
- este dat de un număr egal de generatori și relații și
- .
- Nu se știe dacă inversul este adevărat [1] .
- O sumă conexă a două sfere de omologie este o sferă de omologie.
- Conform conjecturii generalizate Poincaré , o sferă omologică pur și simplu conectată este homeomorfă cu sfera standard.
Variații și generalizări
- Sferele omologice rațional sunt definite într-un mod similar, dar folosind omologie cu coeficienți raționali.
Note
- ↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (oct. 1969), pp. 67-72