Sfera omologică

O sferă de omologie este o varietate X n - dimensională cu omologie asemănătoare cu cea a unei sfere n - dimensionale . Acesta este

H 0 ( X , Z ) = Z = H n ( X , Z ),

și

H i ( X , Z ) = {0} pentru toate celelalte i .

Exemple

sfera Poincaré
Sferele Brieskorn Σ( p , q , r ), adică intersecția unei sfere mici de 5 dimensiuni cu soluția ecuației x p + y q + z r = 0 la coprim p , q și r . Sunt sfere omoloage. Mai mult, Σ(1, 1, 1) este homeomorf pentru sfera standard și Σ(2, 3, 5) pentru sfera Poincare. Dacă , atunci acoperirea universală Σ( p , q , r ) este homeomorfă spațiului euclidian, $\mathbb {C} ^{3}$ $1/p+1/q+1/r\leq 1$

Sfera omologică este conectată.
Grupul fundamental al sferei omologice coincide cu comutatorul său. $\Gamma$
Lasă . Un grup este un grup al unei sfere omologice n - dimensionale dacă și numai dacă [1] : $n\geqslant 5$ $\Gamma$
1. $\Gamma$ desigur dat ;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Un grup este un grup de o sferă omologică cu 4 dimensiuni dacă $\Gamma$
1. $\Gamma$ este dat de un număr egal de generatori și relații și
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Nu se știe dacă inversul este adevărat [1] .
O sumă conexă a două sfere de omologie este o sferă de omologie.
Conform conjecturii generalizate Poincaré , o sferă omologică pur și simplu conectată este homeomorfă cu sfera standard.

Sferele omologice rațional sunt definite într-un mod similar, dar folosind omologie cu coeficienți raționali.

↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (oct. 1969), pp. 67-72