Möbius Graph - Cantor

Graficul Möbius-Cantor este un graf cubic simetric bipartit cu 16 vârfuri și 24 de muchii, numit după August Ferdinand Möbius și Seligman Cantor (1857–1903). Poate fi definit ca un graf Petersen generalizat , adică este format din vârfurile unui octogon conectat la o stea octogonală, în care fiecare punct este conectat la al treilea punct la rând.

Configurare Möbius-Cantor

Möbius în 1828 [1] a pus problema existenței unei perechi de poligoane cu laturi în fiecare, cu proprietatea că vârfurile unui poligon se află pe linii care trec prin laturile celuilalt și invers. Dacă o astfel de pereche există, atunci vârfurile și laturile acestor poligoane trebuie să formeze o configurație proiectivă . Căci nu există o soluție pe planul euclidian , dar în 1882 Kantor [2] a găsit o pereche de poligoane de acest tip într-o generalizare a problemei în care punctele și muchiile aparțin planului proiectiv complex , adică în soluția lui Cantor. , coordonatele vârfurilor poligonului sunt numere complexe . Soluția lui Cantor pentru o pereche de patrulatere înscrise reciproc în plan proiectiv complex se numește configurația Möbius-Cantor . Graficul Möbius-Kantor își ia numele de la configurația Möbius-Cantor, deoarece este graficul Levi al acestei configurații. Graficul are un vârf pentru fiecare punct de configurare și un punct pentru fiecare triplu, iar muchiile conectează două vârfuri dacă un vârf corespunde unui punct și celălalt unui triplu care conține acel punct.

Relația cu hipercubul

Graficul Möbius-Cantor este un subgraf al graficului hipercubului cu patru dimensiuni și este format prin eliminarea a opt muchii din hipercub [3] . Deoarece hipercubul este un grafic de distanță unitară , graficul Möbius-Cantor poate fi desenat și în planul cu toate laturile de lungime unității, deși o astfel de reprezentare ar avea ca rezultat încrucișarea muchiilor.

Topologie

Graficul Möbius-Cantor nu poate fi încorporat într-un plan fără intersecții, numărul său de încrucișări este 4 și este cel mai mic grafic cubic cu un astfel de număr de încrucișări [4] . În plus, graficul oferă un exemplu de grafic, ale cărui subgrafe au numărul de intersecții cu două sau mai multe diferite de numărul de intersecții ale graficului însuși [5] . Cu toate acestea, este toroidal  - există încorporarea sa în torus , în care toate fețele sale sunt hexagoane [6] . Graficul dual al acestei înglobări este graficul hiperoctaedrului .

Există o încorporare și mai simetrică a grafului Möbius-Cantor în dublu torus , care este o hartă obișnuită și are șase fețe octogonale , în care toate cele 96 de simetrii ale grafului pot fi realizate ca simetrii de încorporare [7] . Grupul de simetrie de încorporare de 96 de elemente are graficul Cayley , care poate fi încorporat într-un dublu tor. În 1984 s-a demonstrat că acesta este singurul grup din genul doi [8] .

Sculptura de DeWitt Godfrey și Duane Martinez sub forma unui dublu tor cu un graf Möbius-Kantor încorporat a fost expusă la Muzeul Tehnic al Sloveniei la cea de-a 6-a Conferință Internațională Slovenă despre Teoria Graficului din 2007. În 2013, o versiune rotativă a sculpturii a fost expusă la Universitatea Colgate .

Graficul Möbius-Cantor admite o înglobare în torul triplu (tor de al treilea fel), care dă o hartă regulată având patru fețe cu 12-gonale; [6] .

În 2004, ca parte a studiului posibilelor structuri chimice de carbon, a fost studiată familia tuturor înglobărilor grafului Möbius-Cantor în varietăți bidimensionale , ca urmare s-a demonstrat că există 759 de înglobări neechivalente [9] .

Proprietăți algebrice

Grupul de automorfism al grafului Möbius-Cantor este un grup de ordinul 96 [10] . Acționează tranzitiv pe vârfuri și pe muchii, deci graficul Möbius-Cantor este simetric . Are automorfisme care mapează orice vârf cu oricare altul și orice margine cu oricare alta. Conform listei lui Foster, graficul Möbius-Cantor este singurul grafic simetric cu 16 vârfuri și cel mai mic grafic simetric cubic care nu este tranzitiv la distanță [11] . Graficul Möbius-Cantor este, de asemenea, un grafic al lui Cayley .

Un graf Petersen generalizat este tranzitiv la vârf dacă și numai dacă și , sau când , și tranzitiv la muchie numai în următoarele șapte cazuri: [12] . Astfel, graful Möbius-Cantor este unul dintre aceste șapte grafuri Petersen generalizate tranzitive de muchii. Înglobarea sa simetrică în dublu torus este una dintre cele șapte hărți cubice regulate pentru care numărul total de vârfuri este de două ori mai mare decât numărul de vârfuri ale feței [13] . Printre cele șapte grafice Petersen generalizate simetrice se numără graficul cubic , graficul Petersen , graficul dodecaedru , graficul Desargues și graficul Nauru .

Polinomul caracteristic al graficului Möbius-Cantor este egal cu:

Note

1. ↑ Möbius, 1828 .
2. ↑ Kantor, 1882 .
3. ↑ Coxeter, 1950 .
4. ↑ Secvența OEIS A110507 _
5. ↑ Dan McQuillan, R. Bruce Richter. Despre numerele de încrucișare ale anumitor grafice Petersen generalizate // Matematică discretă. - 1992. - T. 104 , nr. 3 . — S. 311–320 . - doi : 10.1016/0012-365X(92)90453-M .
6. ↑ 1 2 Marushich, Pisanski, 2000 .
7. ↑ Threlfall, 1932 .
8. ↑ Tucker, 1984 .
9. ↑ Leinen, Kuellmans, 2004 .
10. ↑ Royle, G. Date F016A  (downlink)
11. ↑ Conder, M. , Dobcsányi, P. „Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices”. J. Combin. Matematică. Combina. Calculator. 40, 41-63, 2002
12. ↑ Frucht, Graver, Watkins 1971 .
13. ↑ McMullen, 1992 .

Link -uri

• HSM Coxeter. Configurații auto-duale și grafice regulate // Buletinul Societății Americane de Matematică . - 1950. - T. 56 , nr. 5 . — S. 413–455 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 .
• R. Frucht, J.E. Graver, M.E. Watkins. Grupurile graficelor Petersen generalizate // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . - 1971. - T. 70 , nr. 02 . — S. 211–218 . - doi : 10.1017/S0305004100049811 .
• S. Kantor. Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung // Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. - 1882. - T. 84 , nr. 1 . — S. 915–932 . .
• E. Lijnen, A. Ceulemans. Înglobări orientate cu 2 celule ale unui grafic și clasificarea lor de simetrie: generarea de algoritmi și studiu de caz al graficului Möbius-Kantor // J. Chem. inf. Calculator. Sci .. - 2004. - T. 44 , nr. 5 . - S. 1552-1564 . doi : 10.1021 / ci049865c . — PMID 15446812 .
• Dragan Marušic, Tomaž Pisanski. Remarcabilul graf Petersen generalizat G (8,3) // Math. Slovaca. - 2000. - T. 50 . — S. 117–121 .
• Peter McMullen. Poliedre regulate de tip { p , 3} cu 2 p vârfuri // Geometriae Dedicata . - 1992. - T. 43 , nr. 3 . — S. 285–289 . - doi : 10.1007/BF00151518 .
• AF Mobius. Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen? // J. Reine Angew. Matematică. . - 1828. - T. 3 . — S. 273–278 . . În Gesammelte Werke (1886), volumul 1, paginile 439-446.
• Thomas W. Tucker. Există un singur grup de genul doi // Journal of Combinatorial Theory, Seria B. - 1984. - V. 36 , nr. 3 . — S. 269–275 . - doi : 10.1016/0095-8956(84)90032-7 .
• W. Threlfall. Gruppenbilder // Abhandlungen der Mathematisch-Physischen Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften. - 1932. - T. 41 , nr. 6 . — S. 1–59 . .
• Dezvelirea sculpturii.

Link- uri externe

• Weisstein, Eric W. Möbius-Kantor Graph  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Möbius-Kantor Configuration  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .