Baumslag Group - Solitaire

Grupul Baumslag-Solitaire este un grup cu doi generatori și o relație $A$ $b$

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

De obicei, acest grup este de obicei notat . $BS(m,n)$

Exemple și proprietăți

$BS(1,1)$ este un grup abelian liber cu două generatoare,
$BS(1,-1)$ grup fundamental al sticlei Klein
$BS(1,n)$ este izomorfă unui subgrup al grupului de transformări afine ale dreptei reale generate de mapările și . $n>1$ $a:x\to nx$ $b:x\la x+1$
Grupul (împreună cu alte grupuri pentru care mulțimile divizorilor primi ai lui m și n nu coincid) este cel mai faimos exemplu de grup non-hopfian [1] . Și anume, un epimorfism nu este un automorfism . $BS(2,3)$ $BS(m,n)$ $\varphi:a\mapsto a,\,\varphi:b\mapsto b^{2}$ $BS(2,3)$
Grupul permite o reprezentare liniară și . $BS(n,m)$ ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$ ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$
- Această reprezentare nu este eficientă , adică diferite elemente ale grupului pot corespunde aceluiași operator liniar.
Un grup este rezidual finit dacă și numai dacă , , sau [2] $BS(m,n)$ $|m|=1$ $|n|=1$ $|m|=|n|$

↑ DJ Collins (2001), „ Baumslag-Solitar group Archived 26 iunie 2010 at the Wayback Machine ”, în Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
↑ Stephen Meskin, Grupuri nereziduale cu un singur relator

DJ Collins (2001), „ Baumslag-Solitar group Arhivat 26 iunie 2010 la Wayback Machine ”, în Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag și Donald Solitar, Unele grupuri non-Hopfian cu un singur relator cu două generatoare Arhivat la 29 noiembrie 2015 la Wayback Machine , Buletinul Societății Americane de Matematică 68 (1962), 199-201. MR : 0142635