Vizualizare grup

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O reprezentare a unui grup este, în general, orice acțiune a unui grup . Cu toate acestea, cel mai adesea, o reprezentare de grup este înțeleasă ca o reprezentare liniară a unui grup , adică acțiunea unui grup asupra unui spațiu vectorial. Cu alte cuvinte, o reprezentare a unui grup este un homomorfism al unui grup dat într-un grup de transformări liniare nedegenerate ale unui spațiu vectorial .

Reprezentările de grup fac posibilă reducerea multor probleme teoretice de grup la probleme de algebră liniară. Reprezentările de grup au aplicații și în fizica teoretică, deoarece fac posibilă înțelegerea modului în care grupul de simetrie al unui sistem fizic afectează soluțiile ecuațiilor care descriu acest sistem.

Definiție

Fie un grup dat și un spațiu vectorial. Atunci reprezentarea grupului este o mapare care asociază fiecare element cu o transformare liniară nedegenerată și proprietățile $G$ $W$ $G$ $A$ $g\în G$ $A_{g}:W\la W$

A_{{gh}}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{{g^{{-1}}}}=A_{g}^{{-1}}\quad (\ pentru toate g,h\în G).

Spațiul vectorial se numește în acest caz spațiu de reprezentare . Ramura matematicii care studiază reprezentările grupurilor se numește teoria reprezentărilor (grupurilor). O reprezentare poate fi înțeleasă ca o reprezentare de grup folosind matrici sau transformări spațiale liniare. Scopul utilizării reprezentărilor de grup este că problemele din teoria grupurilor sunt reduse la probleme mai vizuale din algebra liniară , permițând adesea o soluție computațională. Astfel se explică rolul mare al teoriei reprezentării în diverse probleme de algebră și alte ramuri ale matematicii. De exemplu, reprezentările unidimensionale ale unui grup simetric și ale unui grup alternant joacă un rol important în demonstrarea imposibilității rezolvării unei ecuații algebrice de grad mai mare de 4 în radicali. În mecanica cuantică , un rol important îl joacă infinit-dimensional ( în care spațiul vectorial este Hilbert ) reprezentări ale grupurilor (în primul rând grupuri Lorentz ). $W$ $A$ $S_{n}$ $Un}$

Definiții înrudite

Fie o reprezentare a grupului , aici — grupul de transformări liniare nedegenerate (automorfisme) ale spațiului . Dimensiunea unei reprezentări este dimensiunea spațiului vectorial $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $G$ $\operatorname {Aut}(W)$ $W$ $A$ $(\dimW).$

Reprezentările și ale aceluiași grup se spune că sunt echivalente dacă există un izomorfism al spațiilor vectoriale astfel încât rezultă, în special, că reprezentările echivalente au aceeași dimensiune. De obicei, reprezentările sunt considerate până la echivalență. $A:G\to\operatorname {Aut}(W)$ $A'\colon G\to \operatorname {Aut} (W')$ $G$ $C:W'\la W$ $A'_{g}=C^{{-1}}A_{g}C\ (\forall g\in G).$

O reprezentare se numește sumă directă de reprezentări dacă (aici semnul înseamnă o sumă directă de spații vectoriale), iar pentru fiecare subspațiul este invariant la transformare , iar restricția indusă asupra reprezentării este echivalentă cu $A:G\to\operatorname {Aut}(W)$ $A^{{(i)}}:G\to\operatorname {Aut}(W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ $\oplus$ $g\în G$ $W_{i}\subset W$ $A_{g}:W\la W$ $A$ $W_i$ $G\to \operatorname {Aut}(W_{i})$ $A^{{(i)}}.$

Pentru o reprezentare dată, maparea se numește caracter ; aici înseamnă urmă . $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $\chi _{A}\colon g\to \mathrm {tr} A(g)$ $A$ $\mathrm {tr}$

Tipuri de vizualizare

Se spune că o reprezentare este exactă dacă nucleul homomorfismului corespunzător constă numai din elementul de identitate.

O reprezentare de grup se numește reductibilă dacă spațiul vectorial are un subspațiu altul decât zero și el însuși , care este invariant pentru toate transformările . În caz contrar, reprezentarea se numește ireductibilă sau simplă (în acest caz, reprezentarea pe spațiu nu este considerată ireductibilă). Teorema lui Maschke afirmă că reprezentările dimensionale finite ale grupurilor finite peste un câmp cu caracteristica zero (sau ale unui grup care este pozitiv, dar nu divizoare de ordine ) se descompun întotdeauna într-o sumă directă a celor ireductibile. $G$ $W$ $W$ $A_{g}:W\la W(\forall g\in G)$ $W=\{0\}$

Fiecare reprezentare ireductibilă a unui grup comutativ în câmpul numerelor complexe este unidimensională. Astfel de reprezentări se numesc caractere .

Reprezentarea se numește regulată dacă este spațiul funcțiilor de pe grup și transformarea liniară atribuie fiecărei funcții o funcție . Cu alte cuvinte, o reprezentare naturală pe inelul de grup al unui grup se numește regulat . $W$ $G$ $A_{g}:W\la W$ $f(\omega),\\omega \în G,$ $f(g\omega),\\omega \in G$

Se spune că o reprezentare este unitară în raport cu un produs scalar Hermitian în spațiu peste un câmp dacă toate transformările sunt unitare . O reprezentare se numește unitarizabilă dacă într-un spațiu vectorial (peste un câmp ) este posibil să se introducă un astfel de produs scalar hermitian față de care este unitar. Orice reprezentare a unui grup finit este unitarizabilă: este suficient să alegeți un produs scalar Hermitian arbitrar în spațiu și să definiți produsul scalar Hermitian dorit prin formula $W$ $\mathbb {C}$ $A_{g}:W\la W(\forall g\in G)$ $W$ $\mathbb {C}$ $G$ $W$ $\lange x,y$ $(x,y)=\sum _{{g\in G}}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .$

Dacă este un grup topologic, atunci o reprezentare de grup este de obicei înțeleasă ca o reprezentare liniară continuă a grupului într-un spațiu vectorial topologic . Aceasta înseamnă că maparea de la până la este continuă , dată ca [1] . $G$ $G$ $A$ $G$ $W$ $G\time W$ $W$ $(g,v)\mapsto A_{g}v$

Exemple

Grupul unitar U(1) poate fi reprezentat ca un grup de rotații ale unui spațiu bidimensional în jurul unui centru.
Reprezentarea grupului simetric poate fi obţinută astfel. Să alegem o bază într-un spațiu vectorial de dimensiune . Pentru fiecare permutare , definim o transformare liniară care duce vectorul de bază la vectorul de bază unde , astfel, obținem o reprezentare -dimensională a grupului $S_{n}$ $W$ $n$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots ,i_{n})$ $A_{g}:W\la W,$ $e_{k}$ $e_{{i_{k}}},$ $k=1,\ldots ,n.$ $n$ $S_{n}.$
O reprezentare bidimensională ireductibilă a unui grup poate fi obținută prin alegerea unei baze în plan, punând un vector și definind pentru fiecare permutare o transformare liniară care ia în și în $S_{3}$ $W$ $e_{1},e_{2},$ $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ $g\în S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ $A_{g}:W\la W$ $e_{1}$ $e_{{i_{1}}}$ $e_{2}$ $e_{{i_{2}}}.$
O reprezentare adjunctă este o reprezentare de grup Lie care acționează pe algebra Lie corespunzătoare .
O vedere co- atașată este o vedere care este conjugată cu una atașată.

Variații și generalizări

Într-un sens mai larg, o reprezentare a unui grup poate fi înțeleasă ca un homomorfism al unui grup în grupul tuturor transformărilor reversibile ale unei mulțimi . De exemplu: $X$

O reprezentare proiectivă a unui grup este un homomorfism al unui grup în grupul de transformări proiective ale unui spațiu proiectiv .

Link -uri

Natura reprezentării grupului

Note

↑ A. I. Stern. Reprezentare continuă // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.

Literatură

Berezin F. A., Gelfand I. M., Graev M. I., Naimark M. A. Reprezentări de grup // Uspekhi Mat. - 1956. T. 11. - Emisiunea. 6 (72). — P. 13–40.
Vinberg EB Reprezentări liniare ale grupurilor. - M .: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985.
Naimark M. A. Teoria reprezentării grupurilor . — M.: Nauka, 1976.
Serre J.-P. Reprezentări liniare ale grupurilor finite. — M.: Mir, 1970.
Sheinman OK Fundamentele teoriei reprezentărilor . - M .: Editura MTSNMO, 2004.
Shafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie . — M.: Fizmatlit, 2009.

Link -uri

R. Borcherds , Playlist „Teoria reprezentării” pe YouTube

În cataloagele bibliografice
BNE : XX5225372 BNF : 11932754t GND : 7503476-1 J9U : 987007531631305171 LCCN : sh85112944 SUDOC : 02724251X