Grup de rotație

Grup de rotație ( grup de rotație ) în mecanică și geometrie - un set al tuturor rotațiilor în jurul originii în spațiul euclidian tridimensional . Prin definiție, o rotație în jurul originii este o transformare liniară care păstrează lungimea vectorilor și, de asemenea, păstrează orientarea (trio-ul de vectori din dreapta și din stânga). Grupul de rotație este izomorf cu grupul de matrici ortogonale reale cu determinantul 1 (numit grup ortogonal special de dimensiunea 3 - ). $\mathbb {R} ^{3}$ $de 3\ ori 3$ ${\mathrm {SO}}(3)$

Proprietăți

Toate grupurile de rotație , inclusiv și , sunt grupuri Lie . ${\mathrm {SO}}(n)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Grupurile de rotații și în general pentru sunt necomutative. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SO}}(n)$ $n > 2$
Grupul este difeomorf la un spațiu proiectiv de dimensiunea 3. Prin teorema de rotație a lui Euler, orice rotație poate fi dată de o dreaptă (axa de rotație dată de vectorul unitar ) care trece prin centrul coordonatelor și un unghi . Se poate asocia fiecare rotație cu un vector și astfel identifica elementele grupului de rotație cu puncte ale bilei de rază . Totuși, o astfel de comparație nu ar fi bijectivă, deoarece aceeași rotație corespunde unghiurilor și . Prin urmare, identificând puncte diametral opuse de pe limita mingii, obținem un spațiu proiectiv . ${\mathrm {SO}}(3)$ $v$ $\varphi \in [-\pi,\pi]$ $\varphi v$ $\pi$ $\pi$ $-\pi$
Grupul de acoperire universal este un grup unitar special sau, ceea ce este același, un grup de cuaternioni de unitate modulo (acționând asupra spațiului tangent la sfera unității prin conjugări). În acest caz, învelișul este cu două foi. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Variații și generalizări

Uneori, grupurile de rotație sunt numite un grup ortogonal special - grupul de rotație al spațiului euclidian -dimensional. Un caz special este grupul de rotații plane sau U(1) ; spre deosebire de cazul rotației spațiului tridimensional, este comutativ . ${\mathrm {SO}}(n)$ $n$ $\mathrm {SO} (2)$

Vezi și

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Introducere în teoria grupurilor. - M. : Moscova-Ijevsk: IKI, 2002. - 148 p. — ISBN 5-93972-165-6 .