Grup de clasa ideal

Grupul de clasă ideal al unui inel Dedekind este, aproximativ vorbind, un grup care permite să spunem cât de puternic este încălcată proprietatea factorială într-un inel dat . Acest grup este banal dacă și numai dacă inelul Dedekind este factorial. Proprietățile unui inel Dedekind privind multiplicarea elementelor sale sunt strâns legate de structura acestui grup.

Definiție

Fie R un inel integral , definim o relație pe idealurile sale fracționale nenule astfel: dacă și numai dacă există elemente nenule a și b ale inelului R astfel încât , este ușor să arătăm că aceasta definește o relație de echivalență. Clasele de echivalență față de această relație se numesc clase ideale . Înmulțirea de clasă definită ca [ a ]*[ b ] = [ ab ] este bine definită, asociativă și comutativă; idealurile fracționale principale formează clasa [ R ] care este identitatea pentru această înmulțire. Clasa [ I ] are clasa sa inversă [ J ] dacă și numai dacă idealul IJ este principal. În cazul general, un astfel de J poate să nu existe, iar clasele ideale vor fi doar un monoid comutativ . $\sim$ $eu J$ $(a)I=(b)J$

Dacă R este și un inel Dedekind (de exemplu, inelul numeric algebric al unui câmp numeric algebric ), atunci fiecare ideal fracționar I are un J invers astfel încât IJ = R = (1). Prin urmare, clasele ideale fracționale ale unui inel Dedekind cu înmulțirea definită mai sus formează un grup abelian , grupul de clasă ideal al inelului R.

Proprietăți

Un grup de clasă ideală este trivial dacă și numai dacă toate idealurile inelului R sunt principale, adică atunci când R este un domeniu ideal principal . Mai mult, un inel Dedekind este factorial dacă și numai dacă este un domeniu al idealurilor principale.
Numărul claselor ideale ale unui inel R poate fi, în general, infinit; în plus, orice grup abelian este izomorf cu grupul de clasă al unui inel Dedekind [1] . Totuși, dacă R este inelul de numere întregi al unui câmp numeric, atunci numărul său de clase este finit.
Calcularea unui grup de clase este, în general, destul de dificilă. Acest lucru se poate face manual pentru un câmp numeric algebric cu un discriminant mic , folosind limita Minkowski . Pentru câmpurile cu un discriminant mare, calculul manual devine nepractic și se face de obicei de computer.

Exemple

Numărul de clase ale unui câmp patratic

Dacă d este un număr fără pătrat , atunci este un câmp pătratic . Dacă d < 0, grupul de clasă este banal numai pentru următoarele valori: Ca și în cazul d > 0, întrebarea dacă numărul de valori corespunzător grupului de clasă trivial este infinit rămâne o problemă deschisă. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.$

Un exemplu de grup de clasă non-trivial

$R={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$ — inel de câmp numeric întreg Acest inel nu este factorial; într-adevăr idealul ${\mathbb Q}({\sqrt {-5}}).$

J=(2,1+{\sqrt {-5}})

nu este cea principală. Acest lucru poate fi dovedit prin contradicție după cum urmează. Pe aceasta este posibil să se definească o funcție normă și dacă și numai dacă x este inversabilă. În primul rând, . Inelul coeficient este izomorf după ideal , deci . Dacă J este generat de un element x , atunci x împarte 2 și 1 + √−5. Prin urmare, norma x împarte 4 și 6, adică este egală cu 1 sau 2. Nu poate fi egală cu 1, deoarece J nu este egal cu R și nu poate fi egal cu 2, deoarece nu poate avea un rest de 2 modulo 5. Este ușor de verificat care este idealul principal, deci ordinea lui J în grupul de clasă este 2. Cu toate acestea, verificarea că toate idealurile aparțin uneia dintre aceste două clase necesită puțin mai mult efort. $R$ $N(a+b{\sqrt 5})=a^{2}+5b^{2}$ $N(ab)=N(a)N(b)$ $N(x)=1$ $J\neq R$ $(1+{\sqrt {-5}})$ ${\mathbb Z}/6{\mathbb Z}$ $R/J\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $a^{2}+5b^{2}$ $J^{2}=(2)$

Note

↑ Claborn, 1966

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - M: Mir, 1972
Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group , Pacific Journal of Mathematics vol . 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm /1102994263&page=record > Arhivat 7 iunie 2011 la Wayback Machine
Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Teoria algebrică a numerelor , voi. 27, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6