Inel factorial

Un inel factorial este un domeniu de integritate în care fiecare element diferit de zero x este fie inversabil , fie reprezentat în mod unic ca un produs al elementelor ireductibile x = p 1 ⋯ p n ( n ≥ 1) , până la o permutare a factorilor și o multiplicare cu un invertibil. element (similar cu descompunerea numerelor întregi în numere prime ). Inelele factoriale sunt adesea numite gaussiene după Gauss .

Definiție

Mai formal, un inel factorial este definit ca un domeniu de integritate R , în care fiecare element diferit de zero x poate fi scris ca un produs (produsul gol , dacă x este inversabil) al elementelor ireductibile pi și al unui element inversabil u :

x = u p 1 p 2 ⋯ p n

iar această descompunere este unică în următorul sens: Dacă q 1 , … , q m sunt elemente ireductibile ale lui R și w este un element inversabil astfel încât

x = w q 1 q 2 ⋯ q m ,

atunci m = n și există o mapare bijectivă φ : {1, … , n } → {1, … , m } astfel încât pi este elementul asociat cu q φ( i ) pentru i ∈ {1, … , n } .

Exemple

Toate inelele euclidiene , în special inelul numerelor întregi (vezi teorema fundamentală a aritmeticii ) și inelul numerelor întregi gaussiene . Vezi articolele Factorizarea numerelor întregi și Factorizarea numerelor gaussiene .
Dacă R este factorial, atunci inelul polinomial R [ x ] este și factorial, deci rezultă că inelul R [ x 1 , … , x n ] este și factorial.
Teorema Auslander-Buxbaum : fiecare inel local obișnuit este factorial.
Inelul seriei de putere formale peste domeniul idealurilor principale este factorial.
Fie R un câmp de caracteristică nu 2. Klein și Nagata au arătat că R [ x 1 , … , x n ]/ Q este factorial dacă Q este o formă pătratică nedegenerată și n este cel puțin cinci.
Localizarea unui inel factorial este factorială. Mai mult, printr-o localizare adecvată și dintr-un inel nefactorial se poate obține un inel factorial. De exemplu, un inel nu este factorial (deoarece ), dar localizarea lui este factorială. $\mathbb {\mathbb {Z} } [{\sqrt {-3}}]$ $(1+{\sqrt {-3))}\cdot (1-{\sqrt {-3)))=4=2\cdot 2$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}),1/2]$

Formulări echivalente

Fie A un inel integral. Următoarele afirmații sunt echivalente:

A este factorial.
Fiecare ideal prim diferit de zero A conține un element prim (adică un element astfel încât idealul principal generat de acest element este prim).
A este un inel Krull în care fiecare ideal de divizor este principal (așa este definit inelul factorial al lui Bourbaki ).
A este un inel Krull și fiecare ideal prim care nu conține alte idealuri prime diferite de zero este principal.

Proprietățile inelelor factoriale

1. În inelele factoriale, sunt bine definite conceptele de cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al oricărei mulțimi finite de elemente, precum și conceptul de coprimitate a elementelor .

2. Lema privind divizibilitatea articulației. Dacă un element al inelului factorial este divizibil cu fiecare dintre elementele , , … , iar aceste elemente sunt coprime perechi, atunci este divizibil cu produsul lor. $N$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{k}$ $N$

3. Dacă , și elementele sunt coprime perechi, atunci fiecare dintre ele are forma , unde sunt elementele inversabile ale inelului. $N^n = a_1a_2\dots a_k$ $a_1, a_2, ... ,a_k$ $a_i = u_i b_i^n$ $tu_{i}$

4. Orice fracție compusă din elemente ale inelului factorial poate fi scrisă într- o formă ireductibilă , adică există elemente coprime și (definite unic până la asociere) astfel încât . $a/b$ $p$ $q$ $a/b = p/q$

5. Teorema lui Gauss. Dacă fracția este rădăcina unui polinom cu cel mai mare coeficient egal cu 1 (elementele , precum și toți coeficienții polinomului sunt elemente ale inelului factorial ), atunci se află în , adică este divizibil cu în inel. . (Această proprietate a inelului se numește integral închis ). $a/b$ $x^n + c_1x^{n-1} + \dots + c_n$ $a,b$ $R$ $a/b$ $R$ $A$ $b$ $R$

Literatură

Bourbaki N. Algebră comutativă. — M .: Mir, 1971.
Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebră. - Mir, 1967.

Diagrama de includere a unor clase de inele
inele comutative ⊃ inele integrale ⊃ inele factoriale ⊃ domenii ideale principale ⊃ inele euclidiene ⊃ câmpuri