Zona de integritate

Regiunea de integritate (sau inel integral , sau regiune de integritate , sau pur și simplu regiune ) este un concept de algebră comutativă : un inel comutativ asociativ fără divizori zero (produsul oricărei perechi de elemente diferite de zero nu este egal cu 0).

Acest articol urmează convenția conform căreia regiunile de integritate au un element neutru multiplicativ, de obicei notat ca 1, dar unii autori nu solicită ca regiunile de integritate să aibă un element neutru multiplicativ.

Definiție echivalentă: Un domeniu de integritate este un inel comutativ în care idealul nul {0} este prim . Orice domeniu de integritate este un subring al câmpului său coeficient .

Exemple

Cel mai simplu exemplu de domeniu de integritate este inelul de numere întregi . $\mathbb {Z}$
Orice domeniu este o zonă de integritate. Pe de altă parte, orice domeniu artinian al integrității este un câmp. În special, toate domeniile finite de integritate sunt câmpuri finite .
Inelul de polinoame cu coeficienți dintr-un inel integral este de asemenea integral. De exemplu, inelul de polinoame dintr-o variabilă cu coeficienți întregi și inelul de polinoame din două variabile cu coeficienți reali vor fi integrale. Inelul seriei de puteri formale cu coeficienți din inelul integral este de asemenea integral. ${\mathbb {Z}}[x]$ ${\mathbb {R}}[x,y]$
Mulțimea numerelor reale ale formei este un subring al câmpului și, prin urmare, domeniul integrității. Același lucru se poate spune despre mulțimea numerelor complexe de forma , unde și sunt numere întregi (mulțimea numerelor întregi gaussiene ). $a+b{\sqrt {2}}$ $\mathbb {R}$ $a+bi$ $A$ $b$
Fie o submulțime deschisă conectată a planului complex . Atunci inelul tuturor funcțiilor holomorfe va fi integral. Același lucru este valabil pentru orice inel de funcții analitice definite pe o submulțime conectată a unei varietăți analitice . $U$ $\mathbb {C}$ $H(U)$ $f:U\rightarrow {\mathbb {C}}$
Dacă este un inel comutativ și este un ideal în , atunci inelul coeficient este integral dacă și numai dacă este un ideal prim al . $K$ $eu$ $K$ $K/I$ $eu$

Divizibilitate, elemente prime și ireductibile

Fie și să fie elemente ale unui inel integral . Ei spun că „ împarte ” sau „ -divizor ” (și scrieți ) dacă și numai dacă există un element astfel încât . $A$ $b$ $K$ $A$ $b$ $A$ $b$ $a\mid b$ $x\în K$ $ax=b$

Divizibilitatea este tranzitivă : dacă se împarte și se împarte , atunci se împarte . Dacă împarte și , atunci împarte și suma și diferența lor . $A$ $b$ $b$ $c$ $A$ $c$ $A$ $b$ $c$ $A$ $b+c$ $bc$

Pentru un inel unitar, $K$ divizorii unităților , adică elementele care împart 1, se mai numesc și unități (algebrice) . Ei și numai ei au un element invers, deci divizorii unității se mai numesc și elemente inversabile . Elementele inversabile împart toate celelalte elemente ale inelului. $a\în K$ $K$

Elementele și se numesc asociate dacă împarte și împarte . și sunt asociate dacă și numai dacă , unde este un element inversabil. $A$ $b$ $A$ $b$ $b$ $A$ $A$ $b$ $a=fi$ $e$

Un element diferit de zero care nu este o unitate este numit ireductibil dacă nu poate fi descompus într-un produs din două elemente care nu sunt inversabile . $q$

Un element ireversibil diferit de zero se numește simplu dacă rezultă din faptul că sau urmează . Această definiție generalizează conceptul de număr prim într-un inel , dar ia în considerare și numere prime negative. Dacă este un element simplu al inelului, atunci idealul principal generat de acesta este simplu. Orice element simplu este ireductibil, dar invers nu este adevărat în toate domeniile integrității. $p$ $p\mid ab$ $p\mid a$ $p\mid b$ $\mathbb {Z}$ $p$ $(p)$

Proprietăți

Orice câmp, precum și orice inel cu o unitate, conținut într-un anumit câmp, este un domeniu de integritate.
- În schimb, orice regiune de integritate poate fi imbricată într-un anumit câmp. O astfel de încorporare este dată de construcția câmpului de coeficienti.
Produsul direct al inelelor nu este niciodată o regiune întreagă, deoarece unitatea primului inel înmulțită cu unitatea celui de-al doilea inel va da 0.
Produsul tensor al inelelor integrale va fi, de asemenea, un inel integral.
Caracteristica zonei de integritate este fie zero, fie un număr prim .

Variații și generalizări

Uneori comutativitatea nu este necesară în definirea domeniului de integritate. Exemple de domenii de integritate necomutative sunt solidele , precum și subinelele de solide care conțin o unitate, cum ar fi cuaternionii întregi . Cu toate acestea, nu este adevărat că orice domeniu de integritate necomutativ poate fi încorporat într-un corp.

Literatură

Vinberg E.B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .

Diagrama de includere a unor clase de inele
inele comutative ⊃ inele integrale ⊃ inele factoriale ⊃ domenii ideale principale ⊃ inele euclidiene ⊃ câmpuri