Câmp cuadratic

Un câmp pătratic este un câmp numeric algebric de gradul 2 peste . Se poate dovedi că maparea definește o bijecție între mulțimea numerelor întregi fără pătrat și mulțimea tuturor câmpurilor pătratice neizomorfe perechi. Dacă câmpul pătratic se numește real , în caz contrar este imaginar sau complex . $\mathbb {Q}$ $d\mapsto {\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d>0,$

Inel de numere întregi ale unui câmp pătratic

Pentru orice câmp de numere algebrice, se poate considera inelul său de numere întregi, adică mulțimea de elemente care sunt rădăcinile polinoamelor reduse cu coeficienți întregi. În cazul unui câmp pătratic, acestea sunt rădăcinile ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi; toate numerele de această formă sunt ușor de descris.

Fie un întreg fără pătrat congruent cu 2 sau 3 modulo 4. Atunci inelul de numere întregi al câmpului patratic corespunzător (notat ) este mulțimea de combinații liniare de forma ( iraționalități pătratice ), unde , cu operațiile uzuale de adunare și înmulțirea numerelor complexe . În consecință, dacă , inelul numerelor întregi este format din numere de forma , unde . $D$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathbf {Q}}({\sqrt {D}})))}$ $a+b{\sqrt D}$ $a,b\în {\mathbb Z}$ $D\equiv 1{\pmod {4}}$ $a+b\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $a,b\în {\mathbb Z}$

Exemple de inele de numere întregi

Un exemplu clasic este inelul numerelor întregi gaussiene corespunzătoare cazului . Acest inel a fost descris pentru prima dată de Gauss în jurul anului 1800, pentru a formula legea reciprocității biquadratice . [unu] $D=-1$
Cazul (deoarece −3 este congruent cu 1 modulo 4) corespunde numerelor întregi Eisenstein . $D=-3$

Discriminant

Discriminantul unui câmp pătratic este d când d este congruent cu 1 modulo 4 și 4d în caz contrar. De exemplu, discriminantul câmpului numărului rațional gaussian este −4. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$

Descompunerea în numere prime în inelul numerelor întregi

Orice inel de numere întregi este Dedekind , prin urmare, pentru oricare dintre idealurile sale , există o descompunere unică în idealuri prime. Fie p un număr prim , atunci pentru idealul principal generat de p în ( K este un câmp pătratic arbitrar) sunt posibile următoarele trei cazuri: ${\mathcal {O}}_{K}$

( p ) este un ideal prim. Inelul coeficient al acestuia este un câmp finit de p 2 elemente:

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p^{2}}}

( p ) se descompune într-un produs a două idealuri prime distincte.

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p}}\times {\mathbb F}_{{p}}

( p ) este pătratul unui ideal prim. Apoi, inelul coeficient al acestuia conține nilpotenți non-zero .

Al treilea caz apare dacă și numai dacă p împarte discriminantul câmpului D (de exemplu, idealul (2) este pătratul idealului (1+ i ) din inelul numerelor întregi gaussiene). Primul și al doilea caz apar atunci când simbolul Kronecker este -1 și, respectiv, 1. $\left({\tfrac {D}{p}}\right)$

Note

↑ Dummit, pagina 229

Literatură

Duncan Buell. Forme pătratice binare : teorie clasică și calcule moderne . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-97037-1 . capitolul 6.
Pierre Samuel . Teoria numerelor algebrice (neopr.) . — Hermann/Kershaw, 1972.
ÎN Stewart; D.O. Înalt. Teoria numerelor algebrice (neopr.) . - Chapman and Hall , 1979. - ISBN 0-412-13840-9 . Capitolul 3.1.
Dummit, D.S., Foote , R.M. , 2004. Abstract Algebra, ed. a III-a.