Curbă bicornă

O curbă cu două colțuri , cunoscută și sub numele de pălărie cocoșată datorită asemănării sale cu o curbă cu două colțuri , este o curbă rațională de gradul al patrulea , dată de ecuație

y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.

Curba are două cuspizi și este simetrică față de axa y.

Istorie

În 1864 , James Joseph Sylvester a studiat curba

y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0

în legătură cu clasificarea ecuaţiilor de gradul al cincilea . El a numit curba cu două coarne datorită prezenței a doi cuspizi. Această curbă a fost studiată mai târziu de Arthur Cayley în 1867.

Proprietăți

O curbă bicornă este o curbă algebrică plană de gradul al patrulea al genului zero . Curba are două singularități cuspid în planul real și un punct dublu în plan proiectiv complex la x=0, z=0. Dacă mutam x=0 și z=0 la origine și efectuăm o rotație imaginară pe x înlocuind x/z cu x și 1/z cu y, obținem

(x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.\,

Această curbă, melcul lui Pascal , are punctul dublu obișnuit la origine și două puncte de intersecție cu axele la x = ± i și z=1.

Ecuația parametrică a unei curbe bicorne:

$x=a\sin(\theta )$ si cu $y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta)\left(2+\cos(\theta)\right)}{3+\sin ^{2}(\theta ))}$ $-\pi \leq \theta \leq \pi$

Vezi și

Lista curbelor

Note

Literatură

J. Dennis Lawrence. Un catalog de curbe plane speciale. - Dover Publications, 1972. - ISBN 0-486-60288-5 .
„Bicorn” la arhiva The MacTutor History of Mathematics
Weisstein, Eric W. Bicorn (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
„Bicorn” la „mathcurve”
Lucrările de matematică adunate ale lui James Joseph Sylvester. Vol. II Cambridge (1908) p. 468 _ _