Gen geometric

Genul geometric este invariantul birațional de bază p g al varietăților algebrice și al varietăților complexe .

Definiție

Genul geometric poate fi definit pentru soiurile proiective complexe non- singular și, mai general, pentru soiurile complexe , ca numărul Hodge h n ,0 (egal cu h 0, n conform dualității Serre ), adică ca dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.

Cu alte cuvinte, pentru o varietate V de dimensiune complexă n , această valoare este egală cu numărul de n - forme holomorfe liniar independente de pe varietatea V [1] . Această definiție este dimensiunea spațiului

H^{0}(V,\Omega ^{n})

apoi transferă la orice câmp de bază , dacă Ω este luat ca un snop de diferențe Kähler , iar gradul este egal cu produsul exterior , fascicul de linii canonice .

Genul geometric este primul invariant al secvenței de invarianți numit plurigen (sau gen multiplu). $p_{g}=P_{1}$ $P_{n}$

Cazul curbelor

În cazul varietăților complexe, curbele nesingulare sunt suprafețe Riemann . Definiția algebrică a genului este în concordanță cu noțiunea topologică de gen . Pe o curbă nesingulară, pachetul de linii canonice are gradul . $2g-2$

Conceptul de gen este prezent în mod proeminent în enunțul teoremei Riemann-Roch (vezi și teorema Riemann-Roch pentru suprafețe ) și formula Riemann-Hurwitz . După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de grad d are gen geometric

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

unde s este numărul de puncte singulare numărate după cum este necesar.

Dacă C este o suprafață ireductibilă (și netedă) în planul proiectiv definită printr-o ecuație polinomială de grad d , atunci mănunchiul său normal de linii este un snop Serre răsucit , deci prin formula de adăugare fasciculul de linii canonice a C este dat de . ${\mathcal {O}}(d)$ ${\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{ \mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}$

Genul varietăților singulare

Definiția genului geometric este transferată într-un mod clasic la curbele singulare C prin enunțarea care este genul geometric al normalizării lui C ′ . Adică, deoarece maparea este birațională , definiția este extinsă cu un invariant birațional. $p_{g}(C)$ $C^{\prime }\rightarrow C$

Vezi și

Gen aritmetic
Invarianții de suprafață

Note

↑ Danilov, Shokurov, 1998 , p. 57-58.

Literatură

Griffiths P. , Harris J. Principiile geometriei algebrice. - Wiley Interscience, 1994. - S. 494. - (Biblioteca Wiley Classics). — ISBN 0-471-05059-8 .
Danilov V.I., Shokurov V.V. Geometrie algebrică-1 . - 1998. - V. 23. - (Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. Direcții fundamentale.).