Zecimal

O zecimală este un tip de fracție care reprezintă o modalitate de a reprezenta numere reale sub formă

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

Unde

\p.m

- semnul fracției : fie , fie ,

+

-

,

- virgulă zecimală , care servește ca separator între părțile întregi și fracționale ale numărului ( standardul țărilor CSI ) [1] ,

d_{k}

- cifre zecimale . Mai mult, succesiunea de cifre dinaintea virgulei (în stânga acesteia) este finită (cel puțin o cifră), iar după virgulă (în dreapta acesteia) poate fi fie finită (în special, cifrele după virgulă). poate lipsi cu totul) sau infinit.

Exemple:

$123{,}45$ (sfârșit zecimală)
Reprezentarea unui număr $\pi$ ca o zecimală infinită: $3{,}1415926535897...$

Valoarea zecimalei este un număr real $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

egală cu suma unui număr finit sau infinit de termeni.

Reprezentarea numerelor reale folosind zecimale este o generalizare a scrierii numerelor întregi în notație zecimală . Reprezentarea zecimală a unui întreg nu are cifre după virgulă zecimală și, astfel, reprezentarea este

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

care coincide cu notarea acestui număr în sistemul numeric zecimal.

Decimale finite și infinite

Fracții finite

O zecimală se numește finită dacă conține un număr finit de cifre după virgulă zecimală (în special niciuna), adică are forma

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Prin definiție, această fracție reprezintă un număr

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Este ușor de observat că acest număr poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită a formei , al cărei numitor este o putere a zece. În schimb, orice număr de forma , unde este un întreg și este un întreg nenegativ, poate fi scris ca o fracție zecimală finită. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $p$ $s$

Dacă o fracție obișnuită este redusă la o formă ireductibilă, numitorul ei va arăta ca . Astfel, următoarea teoremă privind reprezentabilitatea numerelor reale ca fracții zecimale finite este valabilă. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Teorema. Un număr real poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită dacă și numai dacă este rațional și când este scris ca o fracție ireductibilă , numitorul nu are divizori primi alții decât și . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Fracții infinite

Decimală infinită

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

reprezintă, prin definiție, un număr real

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Această serie converge , indiferent de cifrele întregi nenegative și zecimale . Această propoziție rezultă din faptul că șirul sumelor sale parțiale (dacă se scapă semnul fracției) este mărginită mai sus de un număr (vezi criteriul de convergență a seriilor cu semne pozitive ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Reprezentarea numerelor reale ca zecimale

Astfel, orice fracție zecimală finită sau infinită reprezintă un număr real bine definit. Rămân următoarele întrebări:

Orice număr real poate fi reprezentat ca zecimală?
Aceasta este singura reprezentare?
Care este algoritmul pentru descompunerea unui număr într-o zecimală?

Aceste probleme sunt evidențiate mai jos.

Algoritm pentru extinderea unui număr într-o fracție zecimală

Algoritmul pentru construirea unei fracții zecimale, care este reprezentarea acesteia, este descris mai jos. $\alfa$

Să luăm în considerare mai întâi cazul . Împărțiți întreaga dreaptă numerică cu puncte întregi în segmente de lungime unitară. Luați în considerare segmentul care conține punctul ; în cazul special când punctul este capătul a două segmente adiacente, alegem segmentul potrivit ca . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alfa$ $\alfa$ $I_0$

Dacă notăm un număr întreg nenegativ, care este capătul din stânga al segmentului , până la , atunci putem scrie: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

La pasul următor, împărțim segmentul în zece părți egale cu puncte $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9

și luați în considerare cel al segmentelor de lungime pe care se află punctul ; în cazul în care acest punct este capătul a două segmente adiacente, îl alegem din nou pe cel potrivit din aceste două segmente . $1/10$ $\alfa$

Să numim acest segment . Arată ca: $I_1$

I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\dreapta]

Vom continua in mod similar procesul de rafinare a dreptei numerice si de rafinare succesiva a pozitiei punctului . $\alfa$

La pasul următor, având un segment care conține punctul , îl împărțim în zece segmente egale și alegem dintre ele segmentul pe care se află punctul ; în cazul în care acest punct este capătul a două segmente adiacente, îl alegem pe cel potrivit din aceste două segmente . $În 1}}$ $\alfa$ $În}}$ $\alfa$

Continuând acest proces, obținem o succesiune de segmente ale formei $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\dreapta]

unde este un întreg nenegativ și sunt numere întregi care satisfac inegalitatea . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

Secvența construită de segmente are următoarele proprietăți: $I_{0},I_{1},\ldots$

Segmentele sunt imbricate secvenţial unul în celălalt: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Lungimea segmentelor $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
Punctul aparține tuturor segmentelor secvenței $\alfa$

Din aceste condiții rezultă că există un sistem de segmente imbricate , ale căror lungimi tind spre zero ca , iar punctul este un punct comun tuturor segmentelor sistemului. Aceasta implică faptul că șirul de capete din stânga ale segmentelor converge către un punct (o afirmație analogă este valabilă și pentru șirul de capete din dreapta), adică. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\la\infty$ $\alfa$ $\alfa$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\la \alpha

n\la\infty

Aceasta înseamnă că rândul

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

converge către , și astfel zecimalul $\alfa$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

este o reprezentare a unui număr . Astfel, se găsește extinderea unui număr nenegativ într-o fracție zecimală. $\alfa$ $\alfa$

Fracția zecimală rezultată este infinită prin construcție. În acest caz, se poate dovedi că pornind de la un anumit număr, toate zecimale după virgulă sunt zerouri, adică fracția are forma

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Este ușor de observat că această posibilitate are loc în cazul în care la un pas punctul coincide cu unul dintre punctele de împărțire ale dreptei reale. În acest caz, aruncarea totală $\alfa$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

termeni zero, obținem că numărul poate fi reprezentat și printr-o fracție zecimală finită $\alfa$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

În general, este clar că adăugând orice număr de zerouri (inclusiv infinit) la sfârșitul fracției zecimale după virgulă, nu schimbăm valoarea fracției. Astfel, în acest caz, numărul poate fi reprezentat atât printr-o fracție zecimală finită, cât și printr-o fracție infinită (obținută din prima prin atribuirea unui număr infinit de zerouri). $\alfa$

Astfel, cazul non-negativ . În cazul negativului , ca reprezentare zecimală a acestui număr, puteți lua reprezentarea numărului său pozitiv opus , luată cu semnul minus. $\alfa$ $\alfa$

Algoritmul de mai sus oferă o modalitate de a extinde un număr real arbitrar într-o fracție zecimală. Acest lucru demonstrează următoarele

Teorema. Orice număr real poate fi reprezentat ca o zecimală.

Despre rolul axiomei lui Arhimede

Algoritmul dat pentru descompunerea unui număr real într-o fracție zecimală se bazează în esență pe o proprietate a sistemului de numere reale numită axioma lui Arhimede .

Această proprietate a fost folosită de două ori în algoritm. La începutul construcției, a fost ales un număr întreg astfel încât numărul real să fie între și următorul întreg : $a_{0}$ $\alfa$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z))

Totuși, existența unui astfel de număr întreg trebuie totuși dovedită: nu se poate exclude, de exemplu, posibilitatea ca, indiferent de numărul întreg , inegalitatea să aibă loc întotdeauna . Dacă acest caz ar fi avut loc, atunci, evident, nu s-ar fi găsit numărul necesar . $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alpha$ $a_{0}$

Această posibilitate este tocmai exclusă de axioma lui Arhimede, conform căreia, indiferent de numărul , există întotdeauna un număr întreg astfel încât . Acum, printre numere îl luăm pe cel mai mic care are proprietatea . Apoi $\alfa$ $n$ $n>\alpha$ $k=1,\ldots ,n$ $k>\alpha$

k-1\leqslant \alpha<k

Se găsește numărul dorit: . $a_{0}=k-1$

A doua oară axioma lui Arhimede a fost folosită implicit în demonstrarea tendinței spre zero a lungimilor segmentelor șirului : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

O dovadă riguroasă a acestei propoziții se bazează pe axioma lui Arhimede. Să demonstrăm relația echivalentă

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

În conformitate cu axioma lui Arhimede, oricare ar fi numărul real , șirul numerelor naturale îl va depăși, pornind de la un număr oarecare. Și pentru că pentru toată lumea există o inegalitate $E>0$ $1,2,\ldots$ $n$

10^{n}>n

atunci și succesiunea va depăși , începând de la același număr. În conformitate cu definiția limitei unei secvențe numerice, aceasta înseamnă că . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

Ambiguitatea reprezentării zecimale

Cu ajutorul algoritmului de mai sus, pentru orice număr real, putem construi o fracție zecimală reprezentând acest număr. Cu toate acestea, se poate întâmpla ca același număr să fie reprezentat ca zecimală într-un alt mod. $\alfa$ $\alfa$

Neunicitatea reprezentării numerelor sub formă de fracții zecimale decurge deja din banalul fapt că atribuind zerouri la dreapta după virgulă fracției finale, vom obține fracții zecimale formal diferite reprezentând același număr.

Totuși, chiar dacă considerăm identice fracțiile obținute prin atribuirea unui număr finit sau infinit de zerouri între ele, reprezentarea unor numere reale rămâne totuși neunică.

Luați în considerare, de exemplu, zecimala

0{,}99\ldots

Prin definiție, această fracție este o reprezentare a unui număr . Cu toate acestea, acest număr poate fi reprezentat și ca zecimală . Într-adevăr, numerele reale sunt diferite dacă și numai dacă între ele mai poate fi inserat un număr real, care nu coincide cu ele însele.Dar niciun al treilea număr nu poate fi inserat între și . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\ldots$ $a,b$ $a,b.$ $0{,}99\ldots$ $1{,}00\ldots$

Acest exemplu poate fi generalizat. Se poate arăta că fracţiile

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

și

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

unde , reprezintă același număr real. $a_{n}\neq 9$

Rezultă că acest exemplu general epuizează toate cazurile de ambiguitate în reprezentarea numerelor reale ca fracții zecimale. În același timp, desigur, nu luăm în considerare cazurile banale ale fracțiilor obținute prin atribuirea de zerouri una altuia la sfârșit, precum și o pereche de fracții și . $+ 0{,}00 \ldots$ $- 0{,}00 \ldots$

Aceste rezultate pot fi rezumate în următoarea teoremă.

Teorema. Orice număr real care nu este reprezentabil sub forma , unde este un întreg, este un întreg nenegativ, admite o reprezentare unică sub forma unei fracții zecimale; această fracție este infinită. $\alfa$ $p/10^{s}$ $p$ $s$

Orice număr real al formei poate fi reprezentat ca zecimală în mai multe moduri. Dacă , atunci poate fi reprezentată atât ca o fracție zecimală finită, cât și ca o fracție infinită obținută prin alocarea de zerouri la sfârșitul după virgulă, cât și ca o fracție infinită care se termină în . Un număr poate fi reprezentat prin fracții ale formei , precum și prin fracții ale formei . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alpha = 0$ $+0{,}00 \ldots$ $-0{,}00 \ldots$

Cometariu. Fracțiile infinite care se termină în se obțin alegând întotdeauna segmentul din stânga în locul celui din dreapta în algoritmul de mai sus. $999\ldots$

Zerouri suplimentare și eroare

De remarcat că, din punct de vedere al calculelor aproximative, scrierea unei fracții zecimale cu zerouri la sfârșit nu este chiar identică cu scrierea fără aceste zerouri.

Este în general acceptat că, dacă eroarea nu este indicată, atunci eroarea absolută a fracției zecimale este egală cu jumătate din unitatea ultimei cifre descărcate, adică. numărul se obține în conformitate cu regulile de rotunjire [2] . De exemplu, intrarea „3,7” înseamnă că eroarea absolută este 0,05. Și în intrarea „3.700” eroarea absolută este 0.0005. Alte exemple:

„25” - eroarea absolută este 0,5 (de asemenea, o astfel de înregistrare poate însemna valoarea exactă de 25: de exemplu, 25 de bucăți);
"2.50∙10⁴" - eroarea absolută este 50;
„25.00” - eroarea absolută este 0.005.

zecimale periodice

Definiție și proprietăți

O fracție zecimală infinită se numește periodică dacă succesiunea sa de cifre după virgulă zecimală, începând dintr-un loc, este un grup de cifre care se repetă periodic. Cu alte cuvinte, o fracție periodică este o fracție zecimală care arată ca

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

O astfel de fracție este de obicei scrisă sub formă

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Grupul de cifre care se repetă se numește perioada fracției, numărul de cifre din acest grup este lungimea perioadei. $b_{1}\ldots b_{l}$

Dacă într-o fracție periodică perioada urmează imediat virgulei zecimale, atunci fracția se numește periodic pur . Dacă există numere între virgulă zecimală și prima perioadă, fracția se numește periodic mixt , iar grupul de numere după virgulă zecimală până la primul semn al perioadei se numește preperioada fracției. De exemplu, o fracție este periodică pură, în timp ce o fracție este periodică mixtă. $1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$

Principala proprietate a fracțiilor periodice, datorită căreia se disting de întregul set de fracții zecimale, este aceea că fracțiile periodice și numai ele reprezintă numere raționale . Mai precis, este valabilă următoarea propoziție.

Teorema. Orice fracție zecimală periodică infinită reprezintă un număr rațional. În schimb, dacă un număr rațional se extinde într-o fracție zecimală infinită, atunci această fracție este periodică.

Se poate demonstra că fracțiilor pur periodice corespund numerelor raționale, în care numitorul nu are divizori primi și , precum și numerelor raționale , în care numitorul are doar divizori primi și . În consecință, fracțiile periodice mixte corespund fracțiilor ireductibile , al căror numitor are atât divizori simpli sau , și diferiți de ei. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună

Să presupunem că este dată o fracție zecimală periodică cu o perioadă de 4. Rețineți că înmulțind cu , obținem o fracție mare cu aceleași cifre după virgulă. Scăzând partea întreagă ( ), cu care fracția a crescut după înmulțirea ei, obținem fracția inițială ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $X$
$10000x-1998=x$
$\Sageata dreapta$
$10000x-x=1998$
$\Sageata dreapta$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

Pronunţie decimals

În rusă, fracțiile zecimale se citesc astfel: mai întâi se pronunță întreaga parte, apoi cuvântul „întreg” (sau „întreg”), apoi partea fracțională ca și cum întregul ar fi fost format numai din această parte, adică numărătorul al fracției este un număr cantitativ feminin (unu, doi, opt etc.), iar numitorul este un număr ordinal (zecime, sutime, miime, zece miime etc.).

De exemplu: 5,45 - cinci întregi, patruzeci și cinci de sutimi.

Pentru numere mai lungi, uneori partea zecimală este descompusă în puteri de o mie . De exemplu: 0,123 456 - punctul zero, o sută douăzeci și trei de miimi, patru sute cincizeci și șase de milioane.

Cu toate acestea, în practică, deseori cu cât mai rațională, o astfel de pronunție predomină: întreaga parte, uniunea „și” (deseori omisă), partea fracțională.

De exemplu: 5,45 - cinci și patruzeci și cinci; (cinci patruzeci și cinci).

Pentru zecimale recurente, spuneți partea numărului de dinaintea punctului (exprimată ca număr întreg în cazul unei fracții recurente pure, sau ca zecimală finală în cazul unei fracții recurente mixte), apoi adăugați numărul din perioada . De exemplu: 0,1(23) - zero numere întregi, o zecime și douăzeci și trei în perioadă; 2,(6) sunt două numere întregi și șase în perioada.

Istorie

Fracțiile zecimale sunt întâlnite pentru prima dată în China din aproximativ secolul al III-lea d.Hr. e. când se calculează pe tabla de numărare ( suanpan ). În sursele scrise, fracțiile zecimale au fost descrise în format tradițional (nepozițional) de ceva timp, dar treptat sistemul pozițional l-a înlocuit pe cel tradițional [4] .

Matematicianul și astronomul timurid Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) în tratatul său „Cheia aritmeticii” s-a declarat inventatorul fracțiilor zecimale, deși acestea au fost găsite în lucrările lui Al-Uklidisi , care a trăit. Cu 5 secole mai devreme [5] .

În Europa, fracțiile zecimale au fost scrise inițial ca numere întregi pe o scară convenită; de exemplu, tabelele trigonometrice ale lui Regiomontanus (1467) conțineau valori crescute cu un factor de 100.000 și apoi rotunjite la cel mai apropiat număr întreg. Primele fracții zecimale din Europa au fost introduse de Immanuel Bonfils în jurul anului 1350, în 1579 Viet a încercat să promoveze utilizarea lor . Dar s-au răspândit abia după apariția lucrării lui Simon Stevin „Al zecelea” (1585) [6] .

Vezi și

Note

↑ Semnul virgulă " " - virgulă zecimală - ca separator al părților întregi și fracționale ale unei fracții zecimale este adoptat în Rusia, țările europene (cu excepția Marii Britanii și Irlandei) și în multe alte țări asupra cărora au avut o influență culturală. În țările vorbitoare de limbă engleză și în țările asupra cărora au avut influență, semnul punct „ ” este folosit pentru aceasta - un punct zecimal ( virgulă engleză ), iar semnul virgulă este folosit pentru a grupa cifrele părții întregi a numărului după Trei zecimale (așa-numitul separator al grupelor de cifre , în Rusia, caracterul de spațiu neîntrerupt „”) este folosit pentru aceasta. De exemplu, o fracție în notație zecimală în standardul rus va arăta astfel: , iar în standardul englez astfel: . Consultați Separator zecimal pentru detalii . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333.333,333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1954. - 412 p.
↑ Enciclopedie pentru copii . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematică. — ISBN 5-8483-0015-1 . , pagina 179
↑ Jean-Claude Martzloff . O istorie a matematicii chineze. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematica în Islamul medieval // Matematica Egiptului, Mesopotamiei, Chinei, Indiei și Islamului: O sursă . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - p . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M . : Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 p. — (Literatura științifică și biografică).