Criteriul de convergență pentru seria semn-pozitivă

Criteriul de convergenţă a seriilor pozitive este semnul principal al convergenţei seriilor numerice pozitive . Afirmă că o serie pozitivă converge dacă și numai dacă șirul sumelor sale parțiale este mărginită de sus. $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ $S(n)=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}$

Dovada

Pe de o parte, deoarece seria converge, succesiunea sumelor parțiale are o limită. Prin urmare, este limitat. Deci este limitat atât de jos, cât și de sus.

În schimb, să fie dată o serie pozitivă și o succesiune de sume parțiale mărginite de sus. Rețineți că succesiunea sumelor parțiale este nedescrescătoare:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Acum folosim proprietatea din teorema secvenței monotone . Obținem că șirul sumelor parțiale converge (nu scade monoton și este mărginit de sus), și deci seria converge prin definiție.

Literatură

Yu. S. Bogdanov — Prelegeri de analiză matematică — Partea 2 — Minsk — Editura BSU. V. I. Lenin - 1978.

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich