Seria Taylor

Seria Taylor este extinderea unei funcții într-o sumă infinită de funcții de putere . Un caz special de expansiune într-o serie Taylor la punctul zero se numește seria Maclaurin .

Seria Taylor a fost cunoscută cu mult înainte de publicațiile lui Brooke Taylor [1] — a fost folosită încă din secolul al XIV-lea în India [2] , precum și în secolul al XVII-lea de către Gregory și Newton .

Seriile Taylor sunt aplicate la aproximarea unei funcții prin polinoame . În special, liniarizarea ecuațiilor are loc prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi .

O generalizare a noțiunii de serie Taylor în analiza funcțională este seria Fantapie .

Definiție

1. Polinomul Taylor al unei funcții a unei variabile reale , ori diferențiabile într-un punct , este suma finită $f(x)$ $X$ $k$ $A$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f ( a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

utilizat în calcule aproximative , ca o generalizare a consecinței teoremei Lagrange asupra valorii medii a unei funcții diferențiabile:

când adevărat .

xa=h\la 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\aprox f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

Când scriem suma, am folosit notația și convenția pentru produsul peste mulțimea goală: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0!=1$ $(xa)^{0}=1$

2. O serie Taylor într-un punct al unei funcții a unei variabile reale care este infinit diferențiabilă într-o vecinătate a punctului se numește serie formală de putere $A$ $f(x)$ $X$ $A$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

cu un membru comun in functie de parametru .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

A

Cu alte cuvinte, seria Taylor a unei funcții într-un punct este seria de expansiune a funcției în puteri pozitive ale binomului : $f(x)$ $A$ $(xa)$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\ldots \,

. [3]

Așa cum se indică în exemplele de mai jos, a avea o funcție infinit diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct nu este suficientă pentru ca seria Taylor să convergă către funcția însăși oriunde, decât în punctul însuși . $f(x)$ $A$ $A$

3. O serie Taylor într-un punct al unei funcții a unei variabile complexe care satisface condițiile Cauchy-Riemann într-o vecinătate a punctului se numește serie de puteri $A$ $f(z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $A$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

Spre deosebire de cazul real, din condiții rezultă că există o astfel de valoare a razei care converge într-o serie către funcția . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C}:|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $f(z)$

4. Rând de caz $a=0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

se numește seria Maclaurin .

Funcția analitică

1. O funcție a unei variabile reale se numește analitică într-un punct dacă există o astfel de rază și astfel de coeficienți , , care pot fi reprezentați ca o serie de puteri convergentă pe un interval : , adică . $f(x)$ $X$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\dots \,$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Sageata dreapta$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

O funcție se numește analitică pe un interval (pe o mulțime) dacă este analitică în fiecare punct al acestui interval (mulțime).

2. O serie de puteri pe orice submulțime compactă a domeniului de convergență admite diferențierea termen cu termen de orice număr de ori. $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k)))$ $K$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\)$

Dacă substituim în derivata-a a funcției , obținem . $k$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k)))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Astfel, pentru o funcție analitică într-un punct, pentru unele oriunde în , reprezentarea este corectă . $A$ $f(z)$ $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\)$ $f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k)$

Consecinţă. O funcție a unei variabile reale este analitică într-un punct dacă și numai dacă este egală cu seria sa Taylor cu un parametru pe un interval deschis care conține punctul . $f(x)$ $X$ $A$ $A$ $A$

3. Întrebare: pentru o funcție arbitrară a unei variabile reale diferențiabile la infinit într-un punct , va converge seria sa Taylor către peste tot pe un interval , adică este reprezentabilă prin această serie? $A$ $f(x)$ $X$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $f(x)$

Raspuns: nu. Există funcții infinit diferențiabile ale unei variabile reale a cărei serie Taylor converge, dar diferă de funcția din orice vecinătate a . $A$

Exemple. Funcțiile unei variabile reale , , sunt infinit diferențiabile în punctul , și toate aceste derivate sunt egale cu zero. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2})}},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{matrice}}\dreapta.\,$ $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}})),&x>0\\0,&x \leq 0\end{matrice}}\right.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Prin urmare, seria Taylor a tuturor acestor funcții cu un parametru este identic egală cu zero. Cu toate acestea, pentru oricare din vecinătatea punctului , există puncte în care funcțiile sunt diferite de . Astfel, aceste funcții nu sunt analitice la un moment dat. $a=0$ $R>0$ $(-R;+R)$ $a=0$ $0$ $a=0$

Dovada

Vom efectua demonstrația pentru funcția propusă de Augustin-Louis Cauchy . $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2)})}} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$

Funcția , este o funcție analitică a unei variabile complexe pentru toate . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2)}}\right)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

Căci este evident că . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$

Funcția pentru este funcția „corectată” , , completată cu limite la stânga și la dreapta la punctul . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2)}}\right)$ $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\)$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Să găsim derivata funcției în punctul . Prin definiție: . $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\la 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\la 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\la 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Deoarece pentru este satisfăcut , vom demonstra că pentru arbitrar este adevărat . $x\in (0;1)$ $0<e^{-{\frac {1}{x^{2})))<e^{-{\frac {1}{x}))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)}}} {x^{\alpha }}}=0$

Aplicând regula lui L'Hopital direct pe piese

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x)}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

nu duce la un rezultat.

Să schimbăm variabila : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)}}} {x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Lasă . Aplicând regula lui L'Hopital ori, la numărător obținem fie (pentru ) o constantă , fie (pentru ) un infinitezimal : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ $\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\la +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

În acest fel,

f'(0)=\lim _{h\la 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Găsiți (pentru ) mai multe derivate inițiale ale funcției : $x\neq 0$ $f(x)$

f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))}

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\dreapta )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4} }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

Si asa mai departe. În toate cazurile, evident, rezultatul este un produs prin suma puterilor întregi negative . O sumă finită de infinitezimale este infinitezimală. Astfel, . $f(x)$ $X$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

Calculând secvenţial prin definiţie (ca mai sus) derivatele din punctul , aflăm că toate derivatele din punct sunt egale cu zero. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

Domeniul de convergență al seriei Taylor

Seria Taylor, fiind o serie de puteri, are ca zonă de convergență un cerc (centrat în punctul ) pentru cazul unei variabile complexe și un interval (centrat în punctul ) pentru cazul unei variabile reale. $A$ $A$

1. De exemplu, o funcție poate fi extinsă într-o serie Taylor după cum urmează: (aceasta este formula binecunoscută pentru suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite). Totuși, dacă funcția este definită pentru toate numerele reale, cu excepția punctului , atunci seria converge numai sub condiția . $f(x)={\frac {1}{1-x)}$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty {x^{k)}$ $|x|<1$

2. Raza de convergență a seriei Taylor poate fi determinată, de exemplu, folosind formula d'Alembert:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k))}(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\dreapta|

3. Luați în considerare, de exemplu, funcția exponențială . Deoarece orice derivată a unei funcții exponențiale este egală cu funcția însăși în orice punct, raza de convergență a funcției exponențiale este . Aceasta înseamnă că seria Taylor a funcției exponențiale converge pe întreaga axă pentru orice parametru . $e^{x}$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\la \infty }(k+1)=\infty$ $X$ $A$

4. Regiunea convergenței sale depinde de parametru, punctul de expansiune al seriei Taylor. $A$

De exemplu, să extindem în cazul general (pentru un arbitrar ) într-o serie Taylor funcția : . $A$ $f(x)={\frac {1}{1-x)}$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

Se poate dovedi folosind formula pentru suma unei progresii geometrice că seria dată, în funcție de argumentul , are aceeași formă pentru orice valoare (cu excepția ). $X$ $A$ $a=1$

Într-adevăr,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

Domeniul de convergență al seriei poate fi dat de inegalitatea . Și acum această zonă depinde de . De exemplu, pentru , seria converge pentru . Pentru , seria converge la . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $A$ $a=0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Formula Taylor

Să presupunem că funcția are toate derivatele până la ordinul --lea inclusiv într-un interval care conține punctul . Găsiți cel mult un polinom de grad , a cărui valoare într-un punct este egală cu valoarea funcției în acest punct, iar valorile derivatelor sale până la ordinul --lea inclusiv în punct sunt egale cu valorile a derivatelor corespunzătoare ale funcției în acest punct. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${P_{n)}(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

Este destul de ușor de demonstrat că un astfel de polinom are forma , adică este a --a sumă parțială a seriei Taylor a funcției . Diferența dintre o funcție și un polinom se numește termen de rest și se notează . Formula se numește formula Taylor [4] . Termenul rămas este ori diferențiabil în vecinătatea considerată a punctului . Formula lui Taylor este folosită pentru a demonstra un număr mare de teoreme în calculul diferențial . Vorbind vag, formula Taylor arată comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct. ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k))}(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${P_{n)}(x)$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $A$

Teorema:

Dacă o funcție are o derivată pe un segment cu capete și , atunci pentru un număr pozitiv arbitrar există un punct situat între și , astfel încât $f(x)$ $n+1$ $A$ $X$ $p$ $\xi$ $A$ $X$

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(xa)^{k}+\left({xa \ peste x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Aceasta este formula Taylor cu un termen de rest în formă generală (forma Schlömilch - Roche ).

Diverse forme ale restului

În forma Lagrange :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Concluzie Diferențierea timpilor cu ambele părți ale formulei Taylor :

X

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} }{{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1 )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{matrice}}

(De aici, în special, este clar că este o proprietate a termenului rămas sub orice formă.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Conform teoremei lui Lagrange (deoarece corespunde condițiilor teoremei), există un astfel de punct între și (adică nu este egal cu nici , nici ) încât . De aici . Să diferențiem din nou ultima identitate în ceea ce privește și obținem .

f(x)

\xi

X

A

\xi

X

A

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

X

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Termenul rămas să fie dat sub forma . Apoi, în primul rând, acesta și toate derivatele sale sunt egale cu zero în punctul , și în al doilea rând, . La final, puteți face și o înlocuire de variabilă: . Formula a fost lansată.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

În forma Cauchy :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

În formă integrală:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Concluzie Folosind metoda integrarii prin piese obtinem

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(xt )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{matrice}}

Unde

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Să relaxăm ipotezele:

Fie ca funcția să aibă o derivată într-o vecinătate a punctului și derivata a-lea în punctul însuși , atunci: $f(x)$ $n-1$ $A$ $n$ $A$

În formă asimptotică (forma Peano , formă locală):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Concluzie Deoarece , atunci limita relației ca tinde spre poate fi găsită prin regula lui L'Hopital:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n)))

X

A

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\la a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\la a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\ lim _{x\la a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Deoarece limita este zero, aceasta înseamnă că termenul rămas este o funcție infinitezimală de ordin mai mare decât , pentru . Și aceasta este definiția lui o-small.

R_{n}(x)

(xa)^{n)

x\la a

Criteriul pentru analiticitatea unei funcții

Să presupunem că o anumită funcție trebuie extinsă într-o serie Taylor la un moment dat . Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să vă asigurați că funcția este analitică (adică literalmente descompunabilă) în acest moment. În caz contrar, nu va fi extinderea funcției într-o serie Taylor, ci pur și simplu o serie Taylor care nu este egală cu funcția sa. Mai mult, așa cum se poate vedea din exemplul funcției Cauchy, funcția poate fi diferențiabilă în punct în mod arbitrar , iar seria sa Taylor cu un parametru poate fi convergentă, dar seria Taylor poate să nu fie egală cu funcția sa. $f(x)$ $x=a$ $A$ $A$

În primul rând, o condiție necesară pentru analiticitatea unei funcții este convergența seriei Taylor într-o regiune continuă. Într-adevăr, dacă seria Taylor converge într-un singur punct, atunci acesta este punctul , deoarece seria Taylor converge întotdeauna în el. Dar atunci seria Taylor este egală cu funcția doar în acest singur punct, ceea ce înseamnă că această funcție nu va fi analitică. $x=a$ $f(x)$

În al doilea rând, conform formulei Taylor, orice funcție (nu doar analitică) care este infinit diferențiabilă într-o vecinătate care conține punctul poate fi extinsă într-o serie Taylor cu un termen rest . Fie seria Taylor cu parametrul unei astfel de funcții să convergă în această vecinătate. Dacă există o limită a fiecăreia dintre cele două secvențe, atunci limita sumei acestor secvențe este egală cu suma limitelor lor. Apoi, pentru toți din vecinătate , folosind formula Taylor, putem scrie , unde este seria Taylor. $A$ $A$ $X$ $A$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

Este evident că o funcție este analitică într-un punct dacă și numai dacă în vecinătatea specificată a punctului există o regiune continuă astfel încât pentru tot restul termenului expansiunii sale conform formulei lui Taylor tinde spre zero cu creșterea : . $f(x)$ $A$ $A$ $X$ $x\în X$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Să luăm ca exemplu o funcție exponențială . Seria sa Taylor converge pe întreaga axă pentru orice parametri . Să demonstrăm acum că această funcție este analitică în toate punctele . $e^{x}$ $X$ $A$ $A$

Termenul rămas al expansiunii acestei funcții în forma Lagrange are forma , unde este un număr cuprins între și (nu este arbitrar, dar necunoscut). Apoi, evident ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $X$ $A$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Se folosește aici că pe un interval fix exponentul este limitat la un anumit număr $M$

În plus, după cum se poate observa, limita termenului rămas este egală cu zero pentru oricare și . $X$ $A$

Seria Maclaurin a unor funcții

Expozant : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Logaritm natural (" seria Mercator "): pentru toți $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\sum \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Expansiune binomială : pentru toate și toate complexele unde $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\left| x\dreapta| < 1$ $\alpha ,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Rădăcină pătrată : pentru toți $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ pentru toți $|x| < 1$
- Seria geometrică finală: pentru toți $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ $x\not =1,\m\in \mathbb {N} _{0)$
Functii trigonometrice :
- Sinus: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Tangenta: pentru toate unde sunt numerele Bernoulli $\displaystyle \operatorname {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Secanta: pentru toate unde sunt numerele Euler $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: pentru toată lumea [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arccosine: pentru toată lumea $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arctangent: pentru toată lumea $\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ suma _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Funcții hiperbolice :
- $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ pentru toți $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operatorname {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ pentru toți $\left| x\dreapta| < 1$
- $\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ pentru toți $\left| x\dreapta| < 1$

Formula lui Taylor pentru o funcție a două variabile

Fie ca funcția să aibă derivate continue până la ordinul al treilea inclusiv într-o vecinătate a punctului . Introducem operatorul diferential $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}

Apoi expansiunea (formula Taylor) a funcției în puteri pentru într-o vecinătate a punctului va avea forma $f(x,y)$ $(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q)$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

unde este termenul rămas în forma Lagrange: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Rețineți că operatorii și acționează numai asupra funcției , nu asupra și/sau . ${\dfrac {\partial }{\partial x)}$ ${\dfrac {\partial {\partial y)}$ $\mathrm {T} ^{k)$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ $(y-y_{0})$

În mod similar, formula este construită pentru funcții ale oricărui număr de variabile, se modifică doar numărul de termeni din operator . $\mathrm{T}$

În cazul unei funcţii a unei variabile . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Formula Taylor pentru multe variabile

Pentru a obține formula Taylor pentru o funcție de variabile , care într-o anumită vecinătate a punctului are derivate continue până la ordinul --lea inclusiv, introducem operatorul diferențial $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1)}}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Apoi expansiunea (formula Taylor) a funcției în puteri într-o vecinătate a punctului are forma $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

unde este restul comenzii . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

Pentru o funcție de variabile care este infinit diferențiabilă într-o vecinătate a punctului , seria Taylor are forma $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

Unde

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} }{\dfrac {\partial ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n))}{\partial x_{1}^{k_{1))\partial x_{2}^ {k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Un exemplu de extindere în serie a lui Maclaurin a unei funcții de trei variabile

Să găsim o expresie pentru expansiunea seriei Taylor a funcției a trei variabile și în vecinătatea punctului până la ordinul doi de micime. Operatorul va arăta ca $X$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Expansiunea într-o serie Taylor poate fi scrisă ca

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Dat fiind

T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial ^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

primim

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\ parțial y))+z{\dfrac {\partial f_{0)){\partial z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\partial ^{2}f_{ 0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x \partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

De exemplu, la , $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Note

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (Londra, 1715), paginile 21-23 (Propoziția VII, Teorema 3, Corolarul 2). Tradus în engleză în DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), paginile 329-332.
↑ Gupta RC Seria Madhava-Gregory, Math. Educație 7 (1973), B67-B70.
↑ Zaporozhets G. I. „Ghid pentru rezolvarea problemelor în analiza matematică” - P. 371
↑ N.S. Piskunov. Calcul diferențial și integral. - Mithril, 1996. - S. Volumul 1, capitolul 4, paragraful 6.
↑ N.S. Piskunov. Calcul diferențial și integral pentru colegiile tehnice. - al treisprezecelea. - MOSCOVA „NAUKA”, 1985. - S. Volumul 2, capitolul 16, paragraful 16.
↑ Cu o valoare de x apropiată de 1, această formulă de calcul dă o eroare mare. Prin urmare, puteți folosi formula unde $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Literatură

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sennov B. Kh. Analiză matematică, partea 1, ed. 3, ed. A. N. Tihonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Analiză matematică. T. 1, 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Matematică superioară. Semestrul I, Manual de calculator interactiv.
Markushevich AI Teoria funcțiilor analitice. În 2 volume - Ed. al 2-lea. — M .: Nauka , 1967 . - Vol. 1: Începuturile teoriei. — 486 p.
Narasimhan R. Analiză asupra varietăților reale și complexe. - per. din engleza. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971 . — 232 p.
Petrova S. S., Romanovska D. A. Despre istoria descoperirii seriei Taylor. // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Calcul diferențial și integral pentru colegiile tehnice. În 2 volume - Ed. al 13-lea. - M .: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice , 1985 . - T. 1. - 432 str.
Piskunov N. S. Calcul diferențial și integral pentru colegiile tehnice. În 2 volume - Ed. al 13-lea. - M .: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice , 1985 . - T. 2. - 560 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. În 3 volume - Ed. al 8-lea. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 p. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare