Identitatea diferențială a lui Bianchi

Tensorul Riemann satisface următoarea identitate:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

care se numește identitate diferențială Bianchi (sau a doua identitate Bianchi ) în geometria diferențială .

Dovada folosind un sistem de coordonate special

Alegem un punct arbitrar pe varietate și dovedim egalitatea (1) în acest punct. Deoarece punctul este arbitrar, atunci de aici va urma validitatea identității (1) pe întreaga varietate. $P$ $P$

La un punct , putem alege un sistem de coordonate special astfel încât toate simbolurile Christoffel (dar nu derivatele lor) să dispară în acel punct. Atunci pentru derivate covariante la un punct avem $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Pentru că

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

apoi în punctul pe care îl avem $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

Rearanjand ciclic indicii din (4) , obținem încă două egalități: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

Este ușor de observat că la adunarea egalităților (4), (5) și (6) în partea stângă a ecuației se va obține partea stângă a expresiei (1), iar în partea dreaptă, ținând cont de comutativitatea derivatelor parțiale , toți termenii se anulează reciproc și obținem zero.

Vezi și

identitate algebrică Bianchi