Tensor de curbură

Tensorul de curbură riemannian (numit uneori tensorul de curbură Riemann–Christoffel ) este o modalitate standard de exprimare a curburii varietăților riemanniene și, mai general, a varietăților arbitrare cu o conexiune afină , fără torsiune sau cu torsiune.

Numit după Bernhard Riemann .

Definiție

Tensorul de curbură este definit ca o transformare liniară a spațiului tangent în fiecare punct al varietății, care caracterizează schimbarea vectorului , transferat în paralel de-a lungul unui paralelogram închis infinitezimal acoperit de vectori . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

Tensorul de curbură este exprimat în termenii conexiunii Levi-Civita sau, în general, a conexiunii afine (care mai este numită și derivată covariantă ) după cum urmează: $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

unde este paranteza Lie . $[u,\;v]$

Dacă câmpurile vectoriale sunt date prin diferențiere în raport cu coordonatele , și , și, prin urmare, naveta ( ), formula ia o formă simplificată: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

astfel tensorul de curbură măsoară necomutativitatea derivatelor covariante .

Notă. Unii autori definesc tensorul de curbură cu semnul opus

Definiții înrudite

Transformarea liniară se numește transformare de curbură . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Dacă și sunt doi vectori unitari perpendiculari în punctul , atunci expresia depinde numai de planul la , care este acoperit de și . $u$ $v$ $p$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $v$
- Planul se numește direcția secțională . $\sigma$
- Mărimea se numește curbură secțională în direcție și este de obicei notă cu . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma }$

Componentele tensorului de curbură

În sistemul de coordonate, componentele tensorului de curbură sunt definite după cum urmează: $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\partial _{{\mu }}),\;\partial _{{\nu } } )\partial_{{\sigma }}),

unde este un câmp vectorial, tangent la linia de coordonate în fiecare punct . În ceea ce privește simbolurile Christoffel : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\partial _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

În spațiul bidimensional, singura componentă netrivială este curbura gaussiană .

Simetrii

Tensorul de curbură Riemann are următoarele proprietăți de simetrie:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Ultima identitate a fost descoperită de Ricci , deși este numită prima identitate Bianchi sau identitatea algebrică Bianchi .

Aceste trei identități definesc setul complet de simetrii ale tensorului de curbură, adică pentru orice tensor care satisface aceste relații, se poate găsi o varietate Riemanniană a cărei curbură este descrisă de acest tensor. Un calcul combinatoriu simplu arată că tensorul de curbură trebuie să aibă componente independente. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Din aceste trei identități rezultă o altă relație utilă:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Identitatea Bianchi (numită și a doua identitate Bianchi sau identitate diferențială Bianchi ) implică derivate covariante:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Într-un sistem de coordonate dat într- o vecinătate a unui punct al varietății, identitățile de mai sus în componentele tensorului de curbură pot fi scrise după cum urmează. Parantezele denotă simetrizare ; indicele de după punct și virgulă înseamnă derivata covariantă.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(prima identitate Bianchi);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(a doua identitate Bianchi).

Vezi și

Literatură

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .