Identitate algebrică Bianchi

Identitatea algebrică Bianchi este un anumit tip de simetrie a tensorului de curbură . Cunoscută și sub numele de identitate Bianchi-Padova [1] ), sau prima identitate Bianchi . Identitatea a fost găsită de Gregorio Ricci-Curbastro , dar este numită prima identitate Bianchi deoarece este similară cu identitatea diferențială descrisă de Luigi Bianchi .

Formulare

Tensorul Riemann satisface următoarea identitate:

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

care se numeşte identitate algebrică Bianchi

Notă

Această identitate este echivalentă cu următoarea relație pentru componentele tensorului de curbură:

R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0

Ortografii de identitate

Deoarece tensorul Riemann are două perechi antisimetrice de indici (tensorul își inversează semnul atunci când doi indici sunt interschimbați în fiecare dintre perechi), iar tensorul este simetric atunci când perechile înseși sunt interschimbate, putem, de exemplu, să schimbăm primele două indici. Primim (schimbând semnul):

(1a)\qquad R_{{isjk}}+R_{{jski}}+R_{{ksij}}=0

Dacă schimbăm acum perechi de indici, obținem:

(1b)\qquad R_{{jkis}}+R_{{kijs}}+R_{{ijks}}=0

Toate aceste identități sunt echivalente și pot fi descrise în cuvinte astfel: fixăm unul dintre indicii tensorului Riemann, iar cu ceilalți trei indici efectuăm trei permutări ciclice. Suma componentelor tensorului Riemann cu cele trei seturi de indici obținute este egală cu zero.

Alte opțiuni sunt obținute prin ridicarea unuia sau mai multor indici, de exemplu:

(1c)\qquad R_{{\;ijk}}^{s}+R_{{\;jki}}^{s}+R_{{\;kij}}^{s}=0

Antisimetrizarea tensorului Riemann

Folosind tensorul matrioșcă metric , pentru un tensor de rang arbitrar, este posibil să se compună următorul tensor care este antisimetric în toți indicii: $T_{{i_{1}\cdots i_{m}}}$ $m$

(16)\qquad A_{{i_{1}\dots i_{m}}}={1 \over m!}g_{{i_{1}\dots i_{m}}}^{{j_{1} \dots j_{m}}}T_{{j_{1}\dots j_{m}}}

Evident, tensorul antisimetric rămâne neschimbat după procedura de antisimetrizare.

Să aplicăm antisimetrizarea tensorului Riemann:

(17)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 4!}g_{{sijk}}^{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}R_{{s_ {1}i_{1}j_{1}k_{1}}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{{s_{1}}}\delta _{i }^{{s_{1}}}\delta _{j}^{{s_{1}}}\delta _{k}^{{s_{1}}}\\\delta _{s}^{ {i_{1}}}\delta _{i}^{{i_{1}}}\delta _{j}^{{i_{1}}}\delta _{k}^{{i_{1} }}\\\delta _{s}^{{j_{1}}}\delta _{i}^{{j_{1}}}\delta _{j}^{{j_{1}}}\ delta _{k}^{{j_{1}}}\\\delta _{s}^{{k_{1}}}\delta _{i}^{{k_{1}}}\delta _{ j}^{{k_{1}}}\delta _{k}^{{k_{1}}}\end{vmatrix}}R_{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1 }}}

La extinderea determinantului, vom obține 24 de termeni prin permutarea indicilor , iar permutările pereche vor fi cu semnul plus și permutările impare cu semnul minus: $sijk$

(18)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 24}\left((R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})-(R_{{sjik} }+R_{{sikj}}+R_{{skji}})+\puncte \right)

În total, formula (18) va conține opt grupuri de termeni, câte trei termeni. Având în vedere simetria tensorului Riemann, este ușor de observat că toate aceste opt grupuri sunt aceleași (sub rezerva semnelor). Prin urmare obținem:

(19)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 3}(R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})

Acum identitatea algebrică Bianchi poate fi descrisă în cuvinte astfel: antisimetrizarea tensorului Riemann este egală cu zero.

Numărul de componente liniar independente ale curburii intrinseci

Dacă este dimensiunea varietatii , atunci numărul de combinații din perechea de indici antisimetrici este egal cu: $n$

(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}

Deoarece tensorul Riemann este simetric în raport cu permutarea perechilor de indici, componentele sale sunt scrise (până la un semn) printr-un astfel de număr de numere diferite:

(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\ dreapta)

Dar aceste numere sunt conectate prin dependențe liniare care decurg din identitatea algebrică Bianchi. Numărul acestor ecuații, așa cum este ușor de observat din formula (19), este egal cu numărul de componente esențial diferite ale tensorului antisimetric de rangul al patrulea : $A_{{ijkl}}$

(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}

(Rețineți că formula (22) dă rezultatul corect, adică zero, când ) Prin urmare, numărul de componente liniar independente ale tensorului Riemann este egal cu diferența: $n<4$

(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{ 2}(n^{2}-1) \peste 12}

Formula (23) oferă numai numărul maxim posibil de componente liniar independente ale tensorului Riemann pentru o dimensiune de varietate dată. Și pentru anumite varietăți, acest număr poate fi mai mic. De exemplu, pentru un spațiu plat, acest număr este egal cu zero, iar pentru o hipersuprafață din sistemul de coordonate al direcțiilor principale, avem formula indicilor: $eu \ne j$

(24)\qquad R_{{ijij}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}

și, în consecință, numărul de componente liniar independente nu depășește numărul de combinații de 2, adică: $n$

(25)\qquad N_{{hipersuprafață}}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}

Relația cu alte proprietăți ale curburii intrinseci

Datorită identității algebrice Bianchi, curbura intrinsecă a unei varietăți este complet determinată de valorile următoarei forme pătratice în bivectori : $\sigma ^{{ij}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$

(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{{ijkl}}\sigma ^{{ij}}\sigma ^{{kl}}

De asemenea, legată de identitatea algebrică Bianchi este și posibilitatea unei vederi alternative a curburii intrinseci prin tensorul curburii intrinseci simetrice .

Vezi și

Identitatea diferențială a lui Bianchi

Note

↑ Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. — M.: Nauka, 1973