Derivată fracționată

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Derivata fracțională (sau derivată de ordin fracțional) este o generalizare a conceptului matematic de derivată . Există mai multe moduri diferite de a generaliza acest concept, dar toate coincid cu conceptul de derivat obișnuit în cazul ordinii naturale. Când sunt luate în considerare nu numai ordinele fracționale, ci și negative ale unei derivate, termenul diferintegral este de obicei aplicat unei astfel de derivate .

Derivate fracționale pe un segment al axei reale

Pentru o funcție definită pe intervalul , fiecare dintre expresii $f(x)$ $[a,\,b]$

$D_{a+}^{\alpha }\,f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha ))}{\frac {d}{dx))\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(xt)^{\alpha }}},\quad \,D_{b-}^{\alpha }\,f( x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t )\,dt}{(tx)^{\alpha }}},$

se numește derivată fracțională de ordin , , respectiv stângaci și dreptaci. Derivații fracționari în forma de mai sus se numesc de obicei derivați Riemann-Liouville. $\alfa$ $0 < \alpha < 1$

Definiție prin integrala Cauchy

Derivata fracționară a ordinului ( este un număr real pozitiv) se determină prin integrala Cauchy: , unde integrarea se realizează de-a lungul unui contur preselectat pe planul complex. Aplicarea directă a acestei formule este dificilă din cauza ramificării funcției cu un exponent fracționar în numitor. $p$ $p$ $D_{C}^{p}f(t)={\frac {1}{\Gamma (p)))\!\int \limits _{C}{\frac {f(u)}{ (tu)^{p+1}}}\,du$ $C$

Definiție prin transformarea Fourier

Pe baza următoarei proprietăți a transformării Fourier integrale

F[D^{k}\psi (x)](\omega )=(-i\omega )^{k}(F\psi )(\omega )\quad (k\in \mathbb {N } ).

[unu]

Definirea prin formula generală a derivatei n -a

Dacă există o expresie analitică generală pentru derivata de ordinul al n -lea , conceptul de derivată fracțională poate fi introdus în mod natural prin generalizarea acestei expresii (când este posibil) în cazul unui număr arbitrar n .

Exemplul 1: diferențierea polinoamelor

Să existe un monom al formei $f(x)$

f(x)=x^{k}\,.

Prima derivată, ca de obicei

f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.

Repetarea acestei proceduri dă un rezultat mai general.

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k!  \over (kn)!}x^{kn}\,,

care, după înlocuirea factorilor cu funcții gamma , duce la

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{kn}\, .

Prin urmare, de exemplu, semiderivată a funcției x este

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)} x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.

Repetând procedura, vom avea

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\ pi ^{-{1 \over 2))}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{ {1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x ^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\,,

care este rezultatul așteptat

\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}} \right)x={d \over dx}x=1\,.

Astfel, este posibil să se introducă derivate fracționale de ordin pozitiv arbitrar a unui polinom. Definiția se generalizează și la funcțiile analitice . Considerând ca funcție meromorfă a unei variabile complexe, putem generaliza definiția la cazul unei ordine arbitrare de diferențiere. în care $\Gamma$

{\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx} \right)}^{a+b}

pe toate astfel încât , și nu sunt numere întregi negative. $x^{k}$ $ka$ $kb$ $kab$

Trebuie remarcat faptul că derivata în sensul considerat are loc pentru întreg negativ n , totuși, o astfel de derivată diferă de conceptul de antiderivată de ordinul al n -lea , deoarece antiderivată nu este definită în mod unic, în timp ce derivata coincide doar cu una. a antiderivatelor. În acest caz, putem vorbi despre semnificația principală a antiderivatului.

Exemplul 2: Diferențierea funcțiilor trigonometrice

Lăsa

f(x)=\sin(ax+b)\,.

Deoarece pentru orice a și b

{d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\ ,,

apoi , presupunând $n=1/2$

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+ {\pi \over 4}\right)\,.

Într-adevăr,

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.

În exemplul luat în considerare, conceptul de derivată este generalizat la cazul oricărui ordin real și chiar complex. Deci, la , formula derivatei a n- a dă una dintre antiderivatele funcției . $n=-1$ $f(x)$

Proprietăți

Principalele proprietăți ale unei derivate de ordin non-întreg:

Liniaritate

D_{t}^{q}(f(t)+g(t))=D_{t}^{q}(f(t))+D_{t}^{q}(g(t) ))

D^{q}(ax)=aD^{q}(x)

Regula zero

D^{0}x=x

Derivată fracționată a unui produs

D_{t}^{q}(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}D_{t}^{j}( f(t))D_{t}^{qj}(g(t))

proprietatea semigrupului

D^{a}D^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)

în general nemulțumit [1] .

Note

↑ 1 2 Vezi Formula (1.3.11) (p. 11) în AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

Vezi și

Literatură

Riemann B. Experienţă de generalizare a acţiunilor de integrare şi diferenţiere . - Moscova, Leningrad: GITTL, 1948. - 544 p.
Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Integrale și derivate fracționale și unele dintre aplicațiile acestora . - Minsk: Știință și tehnologie, 1987. - 688 p.
Pskhu AV Ecuații în derivate parțiale de ordin fracțional. - Moscova: Nauka, 2005. - 199 p.
Nahushev AM Calcul fracțional și aplicarea acestuia . - Moscova: FIZMATLIT, 2003. - 272 p. — 5−9221−0440−3 exemplare. Arhivatpe 20 iulie 2013 laWayback Machine
Uchaikin VV Metoda derivatelor fracționate . - Ulyanovsk: Artishok, 2008. - 512 p. - 400 de exemplare. - ISBN 978-5-904198-01-5 . (link indisponibil)
Tarasov VE Modele de fizică teoretică cu integro-diferențiere fracțională. - Moscova, Izhevsk: RHD, 2010. - 568 p.
V. V. Vasiliev, L. A. Simak. Calcul fracționat și metode de aproximare în modelarea sistemelor dinamice . - Kiev: NAS al Ucrainei, 2008. - P. 256. - ISBN 978-966-02-4384-2 .
F. Mainardi. Calcul fracționat și undele în viscoelasticitatea liniară: o introducere în modelele matematice . - Imperial College Press, 2010. - 368 p. Arhivat pe 19 mai 2012 la Wayback Machine
VE Tarasov. Dinamica fracțională: Aplicații ale calculului fracțional la dinamica particulelor, câmpurilor și mediilor . - 2010. - 450 p.
VV Uchaikin. Derivate fracționate pentru fizicieni și ingineri . - Higher Education Press, 2012. - 385 p.
R. Herrmann. Calcul fracționat. O introducere în fizicieni . - Singapore: World Scientific, 2014. - ISBN 978-981-4551-09-0 .
AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo. Teoria și aplicațiile ecuațiilor diferențiale fracționale. — Elsevier. - Amsterdam, 2006.
SG Samko, AA Kilbas, OI Marichev. Teoria și aplicațiile integralelor fracționale și derivatelor. — New York: Gordon și Breach, 1993.
K. Miller, B. Ross. O introducere în calculul fracționar și ecuațiile diferențiale fracționale. — New York: Wiley, 1993.
I. Podlubny. Ecuații diferențiale fracționale. - San Diego: Academic Press, 1999.
B. Ross. O scurtă istorie și expunere a teoriei fundamentale a calculului fracțional. — Note Math, 1975.

Link -uri

jurnal: „Fractional Calculus & Applied Analysis”, (din 1998 până în 2014) și Fractional Calculus and Applied Analysis (din 2015)
Jurnal: Ecuații diferențiale fracționale (FDE)
Jurnalul de calcul fracționat și aplicații (JFCA)
Jurnal: Progrese în diferențierea fracțională și aplicații
jurnal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
Aplicații ale calculului fracționar
Calcul fracționar, definiția Riemann-Liouville a integralei fracționale, o definiție a derivatelor fracționale și o listă de aplicații ale calculului. (Engleză)
Calcul fracționat
Calcul fracționat - Conține note introductive despre calculul fracționat
Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld ..
Integrale fracționale și derivate și aplicațiile acestora. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Minsk, 1987 (link inaccesibil)