Derivarea integrală fracționată

Derivarea integrală fracționată
Tema principală	Calcul fractal [d]
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$\mathbb {D} ^{q}f$

Integro-diferențierea fracțională în analiza matematică este un operator combinat de diferențiere / integrare , a cărui ordine poate fi un număr real sau complex arbitrar. Folosit în calculul fracționat . Operatorul însuși servește pentru a desemna operația de luare a unei derivate/integrale de ordin fracțional .

Operatorul este de obicei notat astfel: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Definiții

Cele mai utilizate trei formule sunt:

Cea mai simplă și mai des folosită formulare. Această formulă este o generalizare la o ordine arbitrară a formulei de integrare iterată Cauchy .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

unde .

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\la \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \alegeți j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right).$

Formal, este similară cu integro-derivația Riemann-Liouville, dar se extinde la funcțiile periodice cu integrală zero de-a lungul perioadei.

F(\omega)={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

În spațiul Fourier, diferențierea corespunde produsului:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ dreapta]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

De aceea,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

care se rezumă la

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} }[f(t)]\dreapta\}.

Sub transformarea Laplace , notată aici , diferențierea este înlocuită cu înmulțire $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Generalizând pentru o ordine arbitrară de diferențiere și rezolvând ecuația pentru , obținem $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\dreapta\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty {q \alegeți j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }f(t).

în general nemulțumit [1] .

↑ vezi Proprietatea 2.4 (p. 75) în Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Integrale și derivate fracționale și unele dintre aplicațiile acestora . - Mn. : Știință și tehnologie, 1987. - 688 p.
Pskhu AV Ecuații în derivate parțiale de ordin fracțional. - M. : Nauka, 2005. - 199 p.
Nahushev A. M. Calcul fracțional și aplicarea acestuia. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 p. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Metoda derivatelor fracționate. - Ulyanovsk: Artishok, 2008. - 512 p. - 400 de exemplare. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Modele de fizică teoretică cu integro-diferențiere fracțională. - M. , Izhevsk: RHD, 2011. - 568 p.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teoria și aplicațiile ecuațiilor diferențiale fracționale. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Teoria și aplicațiile integrale fracționale și derivate. — New York: Gordon și Breach, 1993.
Miller K., Ross B. O introducere în calculul fracțional și ecuațiile diferențiale fracționale. — New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Calcul fracțional și undele în viscoelasticitate liniară: o introducere în modelele matematice. - Imperial College Press, 2010. - 368 p.
Podlubny I. Ecuații diferențiale fracționale. - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. O scurtă istorie și expunere a teoriei fundamentale a calculului fracțional // Lect. Note Matematică. - 1975. - Vol. 457. - P. 1-36.
Dinamica fracțională Tarasov VE : Aplicații ale calculului fracționat la dinamica particulelor, câmpurilor și mediilor . - Springer, 2010. - 450 p.
Uchaikin VV Derivate fracționale pentru fizicieni și ingineri . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 p.