Integrală diferențială Riemann-Liouville

În matematică, integrala diferențială Riemann-Liouville mapează o funcție reală la o altă funcție de același tip pentru fiecare valoare a parametrului . Această integrală diferenţială este o generalizare a antiderivatei iterate a lui în sensul că pentru numerele întregi pozitive , este derivata iterativă a funcţiei de ordin . Integrala diferențială Riemann-Liouville este numită după Bernhard Riemann și Joseph Liouville , dintre care ultimul a fost primul care a luat în considerare posibilitatea calculului fracționar în 1832. [1] Acest operator este în concordanță cu transformarea Euler atunci când acționează asupra funcțiilor analitice $f\colon\R\la\R$ $I^{\alpha}f$ $\alpha >0$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha}f$ $f$ $\alfa$ . [2] A fost generalizată la dimensiuni arbitrare de către Marcel Rees , care a introdus potențialul Rees .

Integrala Riemann-Liouville este definită ca:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

unde este funcția gamma și este un punct de referință arbitrar, dar fix. Faptul că această integrală este bine definită este asigurat de integrabilitatea locală a funcției , este un număr complex în semiplan . Dependenţa de punctul de referinţă este adesea nesemnificativă şi reprezintă libertatea în alegerea constantei de integrare . este desigur antiderivata (de ordinul întâi) a funcției , pentru numerele întregi pozitive este antiderivată de ordin conform formulei de integrare iterată Cauchy . În altă notație, subliniind dependența de punctul de referință, are forma [3] : $\Gamma$ $A$ $f$ $\alfa$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $A$ $I^{1}f$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha}f$ $\alfa$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Această expresie are sens și pentru , cu restricții corespunzătoare asupra . $a=-\infty$ $f$

Relațiile fundamentale rămân:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha}f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

dintre care ultima este o proprietate semigrup . [1] Aceste proprietăți permit nu numai definirea integrării fracționale, ci și diferențierii fracționale prin luarea unui număr suficient de derivate ale funcției . $I^{\alpha}f$

Proprietăți

Fie un interval mărginit fix . Operatorul mapează orice funcție integrabilă pe o funcție pe , care este, de asemenea, integrabilă prin teorema lui Fubini . Astfel, definește un operator liniar pe spațiu : $(a,\;b)$ $I^{\alpha )$ $f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha}f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha )$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

De asemenea, din teorema lui Fubini rezultă că acest operator este continuu în raport cu structura spațiului Banach pe . Astfel, următoarea inegalitate este adevărată: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Aici denotă norma în . $\|\cdot \|_{1)$ $L^{1}(a,\;b)$

Într-un caz mai general, din inegalitatea lui Hölder rezultă că dacă aparține lui , atunci aparține și lui și o inegalitate similară este valabilă: $f$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha}f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)}{\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

unde este norma spațială pe intervalul . Astfel , definește un operator liniar mărginit de la sine. Mai mult decât atât, tinde să fie în sens de -a lungul axei reale. Acesta este: $\|\cdot \|_{p)$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha )$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha}f$ $f$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

pentru toată lumea . În plus, evaluând funcția maximă a operatorului , se poate dovedi convergența punctuală aproape peste tot . $p\leqslant 1$ $eu$ $I^{\alpha }f\to f$

Operatorul este bine definit pe setul de funcții integrabile local pe întreaga linie reală . Acesta definește o mapare mărginită pe orice spațiu Banach a funcțiilor de tip exponențial , constând din funcții integrabile local pentru care norma $I^{\alpha )$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma}=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

finit. Pentru afară , transformata Laplace a funcției ia o formă deosebit de simplă: $f$ $X_{\sigma }$ $I^{\alpha}f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha}f)(s)=s^{-\alpha}F(s),

unde . Aici, transformata Laplace a unei funcții este notată cu și această proprietate exprimă faptul că este un multiplicator Fourier . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(e)$ $f$ $I^{\alpha )$

Derivate fracționale

De asemenea, puteți defini derivate de ordin fracționar ale funcției : $f$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

unde denotă operația de luare a părții întregi a . De asemenea, se poate obține o interpolare diferențială-integrală între diferențiere și integrare prin definirea: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil}}{dx^{\lceil \ alpha \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alfa }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Note

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Fractional integration and differentiation , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Euler transformation , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller & Ross, 1993 , p. 21

Link -uri

Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Analiză funcțională și semigrupuri , Providence, RI: Societatea Americană de Matematică .
Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), O introducere în calculul fracțional și ecuațiile diferențiale fracționale , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica vol. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardon. Calcul fracționat II . Universitatea din Cambridge (2000). Arhivat din original pe 17 mai 2012. (nedefinit)
Alan Beardon. Calcul fracționat III . Universitatea din Cambridge (2000). Arhivat din original pe 17 mai 2012. (nedefinit)