Problema kepleriană
Pentru cea mai apropiată problemă de împachetare a bilelor, vezi conjectura lui Kepler .În mecanica clasică, problema Kepler este un caz special al problemei cu două corpuri , în care două corpuri interacționează printr- o forță centrală care variază ca mărime invers cu pătratul distanței dintre ele. Forța poate fi fie atractivă, fie respingătoare. Sarcina este de a găsi dependența coordonatelor sau vitezelor corpurilor în timp pentru mase date și valori inițiale ale vitezelor și coordonatelor. Folosind mecanica clasică, soluția poate fi exprimată în termeni de orbite kepleriene folosind cele șase elemente orbitale .
Problema Kepler poartă numele lui Johannes Kepler , care a propus legile lui Kepler ale mișcării planetare (care fac parte din mecanica clasică și rezolvă problema Kepler pentru orbitele planetare) și a investigat tipurile de forțe care ar trebui să conducă la existența orbitelor care îndeplinesc legile lui Kepler. (așa-numita problemă Kepler inversă).
Aplicații
Problema Kepler se manifestă în multe cazuri, iar unele nu sunt legate de fizică și au fost studiate chiar de Kepler.
Problema lui Kepler este importantă pentru mecanica cerească, teoria gravitației a legii inversului pătratului a lui Newton . Exemplele includ mișcarea sateliților în jurul planetelor, mișcarea planetelor în jurul sorilor lor, mișcarea stelelor binare unele în jurul celeilalte. Problema Kepler este importantă și pentru cazul mișcării a două particule încărcate între care forțele Coulomb acționează , respectând și legea inversului pătratului. Exemplele includ atomul de hidrogen , pozitroniul și muoniumul , toate acestea joacă un rol important în sistemele de modelare pentru a testa teoriile fizice și a măsura constantele fizice.
Problema Kepler și problema oscilatorului armonic simplu sunt două dintre cele mai fundamentale probleme din mecanica clasică. Acestea sunt singurele două cazuri care au orbite închise, adică obiectul revine la același punct de plecare cu aceeași viteză ( problema Bertrand ). Adesea problema Kepler este folosită pentru a dezvolta noi metode de mecanică clasică, cum ar fi mecanica lagrangiană , mecanica hamiltoniană , ecuația Hamilton-Jacobi , variabilele unghiului de acțiune . Problema Kepler păstrează vectorul Laplace-Runge-Lenz , care a fost generalizat la alte interacțiuni. Soluția problemei Kepleriane permite oamenilor de știință să arate că mișcarea planetelor poate fi descrisă exhaustiv de legile mecanicii clasice și teoria clasică a gravitației a lui Newton ; explicația științifică a mișcării planetelor a jucat un rol important în răspândirea iluminismului.
Definiție matematică
Forța centrală care acționează asupra a două corpuri, care variază ca mărime conform legii inversului pătratului în funcție de distanța dintre corpuri:
,
unde este o constantă și este un vector unitar direcționat de-a lungul dreptei care leagă cele două corpuri. Forța poate fi fie atractivă ( ) fie respingătoare ( ) .
Potențialul scalar corespunzător este:
.