Problema Bertrand este o problemă inversă problemei cu două corpuri și constă în determinarea forței de interacțiune din proprietățile cunoscute ale traiectoriilor de mișcare.
Prima problemă a lui Bertrand . Aflați legea forțelor care depind doar de poziția punctului în mișcare și faceți-l să descrie secțiuni conice, indiferent de condițiile inițiale.
Această problemă a fost rezolvată cu succes de Darboux și Alfen [1] sub ipoteza suplimentară că forța este centrală, iar apoi și această condiție a fost respinsă [2] . S-a dovedit că există două astfel de interacțiuni - legea gravitației universale și legea lui Hooke .
Presupunerea despre centralitatea forței, totuși, ar putea fi făcută și din considerații generale ale simetriei problemei.
A doua problemă a lui Bertrand . Știind că forța care face ca planeta să se miște în jurul Soarelui depinde doar de distanță și este de așa natură încât își face punctul de aplicare să descrie o curbă închisă, indiferent de condițiile inițiale, dacă doar viteza este mai mică de o anumită limită, găsiți legea acestei forţe.
Răspunsul este scurt: legea forței poate fi fie legea lui Hooke, fie legea gravitației universale.
Problema a fost rezolvată chiar de Bertrand [3] . Cea mai completă soluție este dată în nota lui Darboux despre mecanica lui Depeiro [4]
Koenigs G. a propus o problemă și mai generală:
Problema lui Koenigs . Știind că forța care face ca planeta să se miște în jurul Soarelui depinde doar de distanță și este de așa natură încât își face punctul de aplicare să descrie o curbă algebrică, indiferent de condițiile inițiale, găsiți legea acestei forțe.
Oricât de surprinzător ar părea, răspunsul este același: legea forței poate fi fie legea lui Hooke, fie legea gravitației universale.
O soluție exhaustivă a problemei a fost dată de însuși Koenigs [5] . Ideea demonstrației se reduce la demonstrarea închiderii unei orbite finite analitice [6] , ceea ce reduce problema la cea anterioară.
Sarcinile de determinare a tipului de forțe atunci când un corp se mișcă de-a lungul orbitelor sub formă de secțiuni conice și tipul de orbite conform unei anumite legi a forțelor au fost stabilite și rezolvate complet [7] de Isaac Newton în prima carte a „ Principiilor ”. de Matematică „ folosind metoda sintetică dezvoltată de el, care combină dovezile geometrice ale principalelor teoreme ale analizei matematice și teoria limitelor [8] cu teoria serielor analitice creată de el [9] pe baza binomului Newton [10] .
În secțiunea III ( Despre mișcarea corpurilor de-a lungul secțiunilor conice excentrice ) se demonstrează că mișcarea de-a lungul secțiunilor conice este posibilă numai pentru legea inversă a pătratului ( Propozițiile XI-XIII ), sau pentru legea de gradul I (Hooke, Propunerea X ). Mai mult, primul caz corespunde direcției forței către focarul secțiunii conice, iar al doilea - centru geometric al elipsei. În secțiunea a II-a, se demonstrează preliminar că mișcarea unui corp de-a lungul unei părți a oricărei curbe netede situată într-un plan poate fi redusă la mișcare în câmpul unei forțe centrale cu un centru de atragere pe acest plan ( Propunerea VII, Corolarele 2 și 3 ).
În secțiunea IX ( Despre mișcarea corpurilor în orbite în mișcare și despre deplasarea absidelor ), se demonstrează folosind serii analitice și trecerea la limită de la o orbită apropiată de cerc la una circulară că o orbită închisă nu poate fi decât cu un exponent de +1 (legea lui Hooke, Exemplul 2 ) sau −2 (legea gravitației, Exemplul 3).
În prefața la Începuturile, autorul traducerii și redactorul primei ediții a Începuturilor în limba rusă, mecanicul A. N. Krylov , notează că prima traducere în engleză a fost făcută în 1727, în franceză abia în 1759 de către marchiza du Chatelet și lucrarea Newton în limbile europene moderne au devenit disponibile doar la multe decenii după prima ediție din 1686.