Problema lui Kepler în relativitatea generală

Problema lui Kepler în general este o problemă de a găsi mișcarea a două corpuri simetrice sferice care interacționează gravitațional. În teoria clasică a gravitației, soluția acestei probleme a fost găsită chiar de Isaac Newton: s-a dovedit că corpurile se vor deplasa de-a lungul secțiunilor conice, în funcție de condițiile inițiale - de-a lungul elipselor, parabolelor sau hiperbolelor. În cadrul teoriei generale a relativității (GR), din punct de vedere purist , această sarcină pare să fie prost pusă, deoarece modelul unui corp absolut rigid este imposibil în fizica relativistă (vezi paradoxul lui Bell , Duritatea născută ) , iar corpurile neabsolut rigide nu vor interacționa sferic - simetric. O altă abordare implică tranziția la corpurile punctuale, ceea ce este legitim în fizica newtoniană, dar provoacă probleme în relativitatea generală. În plus, pe lângă pozițiile și vitezele corpurilor, este necesară și stabilirea câmpului gravitațional inițial (metric) în întreg spațiul - problema condițiilor inițiale în relativitatea generală. Din aceste motive, nu există o soluție analitică exactă a problemei Kepler în relativitatea generală (asemănătoare cu problema celor trei corpuri din teoria gravitației newtoniană ), dar există un set de metode care vă permit să calculați comportamentul corpurilor în cadrul această problemă cu acuratețea necesară: aproximarea corpului de testare , formalism post-newtonian , relativitate numerică .

Context istoric

În 1859, astronomul francez, directorul Observatorului din Paris Urbain Jean Joseph Le Verrier a constatat că precesiunea orbitei lui Mercur , determinată din observații, nu coincide deloc cu cea prezisă teoretic - periheliul orbitei se mișcă puțin mai rapid decât rezultă din teoria lui Newton după luarea în considerare a tuturor perturbaţiilor interplanetare [2] . Efectul a fost mic - 38" pe secol, dar a depășit semnificativ erorile de măsurare - aproximativ 1". Semnificația descoperirii a fost mare și mulți fizicieni, astronomi și mecanici cerești ai secolului al XIX-lea s-au ocupat de această problemă. În cadrul fizicii clasice au fost propuse multe soluții, cele mai faimoase fiind: prezența unui nor invizibil de praf interplanetar în apropierea Soarelui, aplatizarea (momentul cvadrupol) al Soarelui, satelitul nedescoperit al lui Mercur sau noua planetă Vulcan . mai aproape de Soare [3] [4] . Deoarece niciuna dintre aceste explicații nu a rezistat testului observației, unii fizicieni au început să propună ipoteze mai radicale că este necesar să se schimbe legea gravitației în sine, de exemplu, să se schimbe exponentul din ea sau să adauge termeni în funcție de viteza corpurilor la potenţialul [5] .

Cu toate acestea, majoritatea acestor încercări s-au dovedit contradictorii. În lucrările sale despre mecanica cerească [6] , Laplace a arătat că dacă interacțiunea gravitațională dintre două corpuri nu acționează instantaneu (ceea ce este echivalent cu introducerea unui potențial dependent de viteză), atunci impulsul nu se va conserva în sistemul de mișcare. planete - o parte din impuls va fi transferată în câmpul gravitațional, similar modului în care se întâmplă în interacțiunea electromagnetică a sarcinilor în electrodinamică. Din punct de vedere newtonian, dacă influența gravitațională este transmisă cu o viteză finită și nu depinde de vitezele corpurilor, atunci toate punctele planetei ar trebui să fie atrase în punctul în care Soarele a fost puțin mai devreme și nu spre locația sa simultană. Pe această bază, Laplace a arătat că excentricitatea și semi-axele majore ale orbitelor în problema Kepler cu o viteză gravitațională finită trebuie să crească odată cu timpul - experimentează schimbări seculare. Din limitele superioare ale modificărilor acestor cantități, rezultate din stabilitatea sistemului solar și mișcarea Lunii, Laplace a arătat că viteza de propagare a interacțiunii gravitaționale newtoniene nu poate fi mai mică de 50 de milioane de viteze ale luminii [3] [5] .

Este atracția comunicată de la un corp la altul instantaneu? Timpul de transmisie, dacă ar fi observat pentru noi, s-ar arăta predominant ca o accelerație seculară în mișcarea lunii. Am propus acest mijloc de a explica accelerația observată în mișcarea menționată și am constatat că pentru a satisface observațiile trebuie să atribuim forței de atracție o viteză de șapte milioane de ori mai mare decât viteza razului de lumină. Și întrucât acum cauza ecuației seculare - Luna este binecunoscută, putem spune că atracția se transmite cu o viteză de cel puțin cincizeci de milioane de ori viteza luminii. Prin urmare, fără teama de vreo eroare vizibilă, putem considera transferul gravitației ca fiind instantaneu.

- P. S. Laplace Exposition of the System of the World Paris, 1797. [7]

Metoda lui Laplace este corectă pentru generalizări directe ale gravitației newtoniene, dar poate să nu fie aplicabilă modelelor mai complexe. Deci, de exemplu, în electrodinamică, sarcinile în mișcare sunt atrase/respinse nu din pozițiile vizibile ale altor sarcini, ci din pozițiile pe care le-ar ocupa în prezent dacă s-ar deplasa uniform și rectiliniu din pozițiile vizibile - aceasta este o proprietate a lui Lienard- Potențiale Wiechert [8] . O considerație similară în cadrul teoriei generale a relativității duce la același rezultat până la termeni de ordinul [9] . $(v/c)^{3}$

În încercarea de a evita aceste probleme între 1870 și 1900, mulți oameni de știință au încercat să folosească legile interacțiunii gravitaționale bazate pe potențialele electrodinamice ale lui Weber , Gauss , Riemann și Maxwell [10] . În 1890, Levy a reușit să obțină orbite stabile și cantitatea potrivită de deplasare a periheliului combinând legile lui Weber și Riemann. O altă încercare de succes a fost făcută de P. Gerber în 1898 . Totuși, întrucât potențialele electrodinamice inițiale s-au dovedit a fi incorecte (de exemplu, legea lui Weber nu a fost inclusă în teoria finală a electromagnetismului a lui Maxwell), aceste ipoteze au fost respinse ca arbitrare [1] [11] . Alte încercări, precum teoria lui G. Lorentz ( 1900 ), care folosea deja teoria lui Maxwell, au dat prea puțină precesiune [3] [12] .

În jurul anilor 1904-1905, lucrările lui H. Lorentz , A. Poincaré și A. Einstein au pus bazele teoriei relativității speciale , excluzând posibilitatea propagării oricăror interacțiuni mai rapide decât viteza luminii . Astfel, a apărut sarcina de a înlocui legea newtoniană a gravitației cu o alta, compatibilă cu principiul relativității, dar care dă efecte aproape newtoniene la viteze și câmpuri gravitaționale mici. Asemenea încercări au fost făcute de A. Poincare (1905 și 1906), G. Minkowski (1908) și A. Sommerfeld (1910). Cu toate acestea, toate modelele luate în considerare au dat o schimbare prea mică de periheliu [12] [13] .

În 1907, Einstein a ajuns la concluzia că pentru a descrie câmpul gravitațional este necesară generalizarea teoriei relativității de atunci, numită acum specială. Din 1907 până în 1915, Einstein s-a îndreptat constant către o nouă teorie, folosindu -și principiul relativității ca ghid . Conform acestui principiu, un câmp gravitațional uniform acționează în același mod asupra întregii materie și, prin urmare, nu poate fi găsit de un observator în cădere liberă. În consecință, toate efectele gravitaționale locale sunt reproductibile într-un cadru de referință accelerat și invers. Prin urmare, gravitația acționează ca o forță inerțială datorită accelerării cadrului de referință, cum ar fi forța centrifugă sau forța Coriolis ; ca toate aceste forțe, forța gravitațională este proporțională cu masa inerțială . Ca o consecință a acestei circumstanțe, se dovedește că în diferite puncte ale spațiului-timp, cadrele de referință inerțiale au accelerații unul față de celălalt. Acest lucru poate fi descris doar dacă sacrificăm ipoteza clasică că spațiul nostru este descris de geometria euclidiană și mergem la spațiul curbat al geometriei riemanniene. Mai mult, legătura dintre spațiu și timp se dovedește a fi curbă, ceea ce se manifestă ca o forță gravitațională în condiții normale [14] . După opt ani de muncă (1907-1915), Einstein a găsit o lege care arată modul în care spațiu-timp este curbat de materia din el - ecuațiile lui Einstein . Gravitația diferă de forțele inerțiale prin aceea că este cauzată de curbura spațiu-timpului, care poate fi măsurată invariabil. Primele soluții ale ecuațiilor obținute, obținute de Einstein (aproximativ) și Schwarzschild (exact), au explicat precesia anormală a lui Mercur și au prezis de două ori cantitatea de abatere a luminii comparativ cu estimările euristice anterioare. Această predicție a teoriei a fost confirmată în 1919 de astronomii englezi.

Aproximarea unui corp de testare

În această abordare, se consideră că masa unui corp m este neglijabilă în comparație cu masa celui de-al doilea M ; aceasta este o aproximare bună chiar și pentru planetele care se rotesc în jurul soarelui și aproape ideală pentru nave spațiale. În acest caz, putem presupune că primul corp este unul de probă, adică nu perturbă câmpul gravitațional al celui de-al doilea corp, ci doar urmează liniile geodezice ale spațiului-timp format de al doilea corp. Întrucât problema celor două corpuri este de obicei considerată la o scară mult mai mică decât cele cosmologice, influența termenului lambda asupra metricii poate fi neglijată, iar câmpul gravitațional al oricărui corp simetric sferic va fi dat de soluția Schwarzschild. Mișcarea unui corp de lumină, denumit în continuare particulă, are loc astfel de-a lungul liniilor geodezice ale spațiului Schwarzschild, dacă neglijăm forțele de maree și reacția radiației gravitaționale.

În această aproximare, Einstein a calculat pentru prima dată precesia anormală a periheliului lui Mercur, care a servit drept prima confirmare a teoriei generale a relativității și a rezolvat una dintre cele mai faimoase probleme ale mecanicii cerești la acea vreme. Aceeași aproximare descrie cu acuratețe deviația luminii, un alt fenomen celebru prezis de relativitatea generală. În același timp, nu este suficient să descriem procesul de reducere relativistă a orbitelor din cauza radiației gravitaționale.

Introducere geometrică

În geometria euclidiană obișnuită , teorema lui Pitagora este adevărată , care afirmă că pătratul distanței ds² dintre două puncte infinit apropiate din spațiu este egal cu suma pătratelor diferențialelor de coordonate.

ds^{{2}}=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}},\,\!

unde dx , dy și dz sunt diferențele infinitezimale dintre coordonatele x , y și z ale punctelor din sistemul de coordonate carteziene . Acum imaginați-vă o lume în care acest lucru nu mai este adevărat, iar distanțele sunt date de relație

ds^{{2}}=F(x,y,z)dx^{{2}}+G(x,y,z)dy^{{2}}+H(x,y,z)dz^ {{2}},\,\!

unde F , G și H sunt niște funcții de poziție. Acest lucru nu este greu de imaginat, deoarece trăim într-o astfel de lume: suprafața Pământului este curbată, astfel încât nu poate fi reprezentată fără distorsiuni pe o hartă plată. Sistemele de coordonate non-carteziene pot fi, de asemenea, un exemplu: în coordonatele sferice ( r , θ , φ ), distanța euclidiană se scrie ca

ds^{{2}}=dr^{{2}}+r^{{2}}d\theta ^{{2}}+r^{{2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

În cele din urmă, în cazul general, trebuie să presupunem că riglele își pot modifica lungimea coordonatelor nu numai la schimbarea pozițiilor, ci și la întoarcere. Acest lucru duce la apariția termenilor încrucișați în expresia pentru lungime

ds^{{2}}=g_{{xx}}dx^{{2}}+g_{{xy}}dxdy+g_{{xz}}dxdz+g_{{yy}}dy^{{2} }+g_{{yz}}dydz+g_{{zz}}dz^{{2}}\,\!

unde 6 funcții g xx , g xy și așa mai departe sunt transformate la schimbarea coordonatelor ca componente ale unui tensor numit metric (sau pur și simplu metric), care determină toate caracteristicile spațiului în această geometrie riemanniană generalizată . În coordonatele sferice, de exemplu, nu există termeni încrucișați în metrică, iar singurele sale componente diferite de zero sunt g rr = 1, g θθ = r ² și g φφ = r ² sin² θ.

Remarcăm în mod specific că, după setarea tensorului metric într-un sistem de coordonate, întreaga geometrie a spațiului riemannian se dovedește a fi specificată rigid și nu se modifică în cazul transformărilor de coordonate. Mai simplu spus, coordonatele sunt numere arbitrare care indică doar un punct din spațiu, iar distanța măsurată de o riglă fizică între două puncte fixe nu depinde de ce coordonate le atribuim - este o invarianță atunci când schimbăm grilele de coordonate.

În relativitatea specială , Albert Einstein a arătat că distanța ds dintre două puncte din spațiu nu este invariantă, ci depinde de mișcarea observatorului. Această distanță se dovedește a fi o proiecție pe spațiul simultan a unei mărimi cu adevărat invariante - un interval , care nu depinde de mișcarea observatorului, dar include, pe lângă coordonatele spațiale, coordonatele de timp a punctelor spațiu-timp. , numite evenimente

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dx^{{2}}-dy^{{2}}-dz^{{2}}.\,\!

În mod similar, se poate rescrie intervalul în coordonate sferice

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dr^{{2}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^{{ 2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Această formulă este o generalizare naturală a teoremei lui Pitagora și este valabilă în absența curburii spațiu-timpului. În relativitatea generală , totuși, spațiu-timp este curbat, astfel încât „distanța” este exprimată prin formula generală

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^({\mu }}dx^{{\nu }}),\,\!

unde se aplică regula de însumare Einstein - prin indicele care apare deasupra și dedesubt, însumarea este implicită peste toate valorile sale, în acest caz - patru (trei coordonate spațiale și una de timp). Valorile exacte ale componentelor metrice sunt determinate de distribuția substanței gravitatoare, masa, energia și impulsul acesteia, prin ecuațiile lui Einstein . Einstein a derivat aceste ecuații din legile cunoscute de conservare a energiei și a impulsului; cu toate acestea, soluțiile acestor ecuații au prezis fenomene neobservate anterior, cum ar fi deviația luminii, care au fost confirmate ulterior.

metrica Schwarzschild

Singura soluție a ecuațiilor Einstein (fără constanta cosmologică) pentru câmpul gravitațional extern al materiei distribuite sferic simetric (energie-moment) este metrica Schwarzschild.

{ds}^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\ frac {dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^ {{2}}\sin ^{{2}}\theta \,d\varphi ^{{2}}

Unde

c este viteza luminii în metri pe secundă, t - coordonata temporală în secunde (coincide cu timpul numărat de un ceas staționar la infinit), r este coordonata radială în metri (definită ca circumferința cercului - centrat pe punctul de simetrie - împărțit la 2π), θ și φ sunt unghiuri în coordonate sferice în radiani, r s este raza Schwarzschild (în metri), care caracterizează un corp cu masa M și egală cu

r_{{s}}={\frac {2GM}{c^{{2}}}}

unde G este constanta gravitațională . [cincisprezece]

Teoria clasică a gravitației a lui Newton este cazul limită pentru r s / r mic . În practică, acest raport este aproape întotdeauna foarte mic. De exemplu, pentru Pământ, raza Schwarzschild este de aproximativ 9 milimetri , în timp ce un satelit pe orbită geostaționară se află la km . Pentru sistemul solar, acest raport nu depășește 2 milioane de zecimi și numai pentru regiunile din apropierea găurilor negre și a stelelor neutronice devine semnificativ mai mare (până la câteva zecimi). $r\simeq 42164$

Ecuații geodezice

În conformitate cu teoria generală a relativității, particulele de masă neglijabilă se deplasează de-a lungul liniilor geodezice ale spațiu-timpului [16] . În spațiul necurbat, departe de orice corp care atrage, aceste geodezice sunt linii drepte. În prezența surselor gravitaționale, acesta nu mai este cazul, iar ecuațiile geodezice se scriu astfel [17] :

{\frac {d^{2}x^{{\mu }}}{dq^{2}}}+\Gamma _({\nu \lambda }}^{{\mu }}{\frac {dx ^{{\nu }}}{dq}}{\frac {dx^({\lambda }}}{dq}}=0

unde Γ sunt simbolurile Christoffel , iar variabila q parametriză calea particulei prin spațiu-timp - linia ei de lume și este numită parametrul canonic al liniei geodezice. Simbolurile Christoffel depind doar de tensorul metric g μν , mai precis de modul în care acesta se schimbă de la un punct la altul. Pentru geodezici asemănătoare timpului de-a lungul cărora se mișcă particulele masive, parametrul q coincide cu timpul adecvat τ până la un factor constant, care este de obicei luat egal cu 1. Pentru liniile lumii asemănătoare luminii de particule fără masă (cum ar fi fotonii ), parametrul q nu poate fi luată egală cu timpul potrivit, deoarece este egal cu zero, dar forma geodezică este încă descrisă de această ecuație. În plus, geodezice asemănătoare luminii pot fi obținute ca caz limitativ al geodezicilor asemănătoare timpului atunci când masa particulelor tinde spre 0 (dacă energia particulelor este menținută constantă).

Putem simplifica problema folosind simetria problemei - în acest fel excludem o variabilă din considerare. În orice caz cu simetrie sferică, mișcarea are loc într-un plan care poate fi ales ca plan θ = π/2. Metrica din acest plan are forma

ds^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\frac { dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\varphi ^{{2}}.

Deoarece nu depinde de și , există două integrale de mișcare (vezi derivația de mai jos ) $\varphi$ $t$

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Înlocuirea acestor integrale în metrică dă

c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\ tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d \tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

astfel încât ecuațiile de mișcare ale particulei devin după cum urmează

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left(c^{{2}}+{\frac {L^{{2}} }{m^{{2}}r^{{{2}}}}\dreapta).

Dependența de timpul potrivit poate fi eliminată folosind integrala L

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}\ stânga({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}} \left({\frac {mr^{{2}}}{L}}\right)^{{2}},

din cauza căreia ecuaţia orbitelor devine

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\dreapta)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\dreapta),

unde, pentru concizie, se introduc două lungimi caracteristice a și b

a={\frac {L}{mc}},

b={\frac {cL}{E}}.

Aceeași ecuație poate fi derivată din abordarea lagrangiană [18] sau folosind ecuația Hamilton–Jacobi [19] (vezi mai jos ). Soluția ecuației orbitei este dată de expresia

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\dreapta)\stanga({\frac {1}{a^{{2}}}}+{\frac {1}{r^{{2}}}}\ dreapta)}}}}.

Formula aproximativă pentru deviarea luminii

În limita masei particulelor m care tinde spre zero (sau, echivalent, ), ecuația orbitei devine $a\rightarrow \infty$

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{{2}}}}}}}}.

Extinderea acestei expresii în puteri ale raportului r s / r , în prima aproximare obținem abaterea δ φ a unei particule fără masă în timpul zborului ei pe lângă centrul gravitațional:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{{2}}b}}.

Constanta b aici poate fi interpretată ca un parametru de impact , distanța de cea mai apropiată aproximare. Aproximația utilizată la derivarea acestei formule este suficient de precisă pentru majoritatea aplicațiilor practice, inclusiv măsurătorile lentilei gravitaționale . Pentru lumina care trece în apropierea suprafeței solare, deviația este de aproximativ 1,75 secunde de arc .

Legătura cu mecanica clasică și precesia orbitelor eliptice

Ecuațiile mișcării particulelor în câmpul Schwarzschild

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-c^{{2}}+{\frac {r_{{s}}c^{{2}}}{r}}-{\frac {L^{{2}}}{m ^{{2}}r^{{{2}}}}+{\frac {r_{{s}}L^{{2}}}{m^{{2}}r^{{3}}} }

poate fi rescris folosind definiția razei gravitaționale r s :

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}=\left[{\frac {E^{{2}} }{2mc^{{2))))-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^ {{2}}}{2mr^{{{2}}}}+{\frac {GML^{{2}}}{c^{{2}}mr^{{3}}}}

care este echivalent cu mișcarea unei particule nonrelativiste cu energie într- un potențial efectiv unidimensional ${\frac {E^{{2}}}{2mc^{{2}}}}-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}$

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{{2}}}{2mr^{{2}}}}-{\frac {GML^{{2} }}{c^{{2}}domn^{{3}}}}.

Primii doi termeni corespund celor bine-cunoscuți: potențialul de atracție gravitațională a lui Newton și potențialul centrifugal respingător, iar doar al treilea termen nu are analog în problema clasică Kepler. După cum se arată mai jos și în altă parte , un astfel de termen face ca orbitele eliptice să preceadă cu un unghi δφ pe revoluție.

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right)))

unde A este semi- axa majoră a orbitei și e este excentricitatea acesteia .

Al treilea termen are caracter de atracție și modifică comportamentul potențialului la r mic — în loc să se îndrepte spre , împiedicând particulele să cadă în centru (cum era în problema clasică Kepler), potențialul merge la , permițând particule să cadă (pentru mai multe detalii, vezi căderea într-o gaură neagră ). $+\infty$ $-\infty$

Orbitele circulare și stabilitatea lor

Potențialul efectiv V poate fi rescris în termenii parametrilor de lungime a și b

V(r)={\frac {mc^{{2}}}{2}}\left[-{\frac {r_{{s}}}{r}}+{\frac {a^{{2 }}}{r^{{2}}}}-{\frac {r_{{s}}a^{{2}}}{r^{{3}}}}\right].

Orbitele circulare sunt posibile cu o forță efectivă egală cu zero

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{{2}}}{2r^{{{4}}}}\left[r_{{s}}r^{{ 2}}-2a^{{2}}r+3r_{{s}}a^{{2}}\right]=0,

adică atunci când două forțe atractive - gravitația newtoniană (primul termen) și corecția sa relativistă (termenul al treilea) - sunt exact echilibrate de o forță centrifugă respingătoare (termenul doi). Există două raze la care se realizează această compensare

r_{{{\mathrm {exterior}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}}}\dreapta),

r_{{{\mathrm {intern}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{{2}}}}}}\right)={\frac {3a^{{2}}}{r_{{{\mathrm {exterior } }}}}}},

care sunt derivate direct din ecuația pătratică de mai sus. Raza interioară r interioară se dovedește a fi instabilă pentru orice valoare a lui a , deoarece forța de atracție de acolo crește mai repede decât forța de respingere, astfel încât orice perturbare face ca particulele să cadă în centru. Orbitele razei exterioare sunt stabile - acolo atracția relativistă este mică, iar caracterul lor aproape coincide cu traiectoriile problemei Kepler nerelativiste.

Când a este mult mai mare decât r s (cazul clasic), dimensiunile orbitelor tind să

r_{{{\mathrm {exterior}}}}\aprox {\frac {2a^{{2}}}{r_{{s}}}},

r_{{{\mathrm {intern}}}}\aprox {\frac {3}{2}}r_{{s}}.

Înlocuind definițiile lui a și r s în r exterior , obținem formula clasică pentru o particulă pe o orbită circulară în jurul unui centru gravitator de masă M

r_{{{\mathrm {exterior}}}}^{{3}}\aprox {\frac {GM}{\omega _{{\varphi }}^{{2}}}},

unde ω φ este viteza unghiulară orbitală a particulei.

Când un ² tinde spre 3 r s ² (de sus), razele exterioare și interioare converg către

r_{{{\mathrm {exterior}}}}\rightarrow r_{{{\mathrm {interior}}}}\rightarrow 3r_{{s}}.

Rezolvarea ecuației pătratice asigură că r exterior este întotdeauna mai mare decât 3 r s , iar r interior se află între 3 ⁄ 2 r s și 3 r s . Orbitele circulare cu o rază mai mică de 3 ⁄ 2 r s nu sunt posibile. Orbita în sine r interior = 3 ⁄ 2 r s este cazul limită pentru particulele fără masă atunci când , deci o sferă cu această rază este uneori numită sferă fotonică . $a\rightarrow \infty$

Precesia orbitelor eliptice

Rata de precesiune orbitală poate fi derivată din potențialul efectiv V. O mică abatere de-a lungul razei de la cercul orbital r=r exterior va oscila cu o frecvență

\omega _{{r}}^{{2}}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{{2}}V}{dr^{{2}}} }\right]_{{r=r_{({\mathrm {exterior}}}}}}=\left({\frac {c^{{2}}r_{{s}}}{2r_{{{ \mathrm {exterior}}}}^{{4}}}}\right)\left(r_{({\mathrm {exterior}}}}-r_{{{\mathrm {intern}}}}\dreapta) =\omega _{{\varphi }}^{{2}}{\sqrt {1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}} }.

Extinderea seriei dă

\omega _{{r}}=\omega _{{\varphi }}\left(1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}}}} +\cdots\dreapta).

Înmulțirea cu perioada de revoluție T duce la precesiune pe o singură revoluție

\delta \varphi =T\left(\omega _{{\varphi }}-\omega _{{r}}\right)\aprox 2\pi \left({\frac {3r_{{s}}^{ {2}}}{4a^{{2}}}}\right)={\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}} }r_{{s}}^{{2}},

unde ω φ T = 2 n şi se foloseşte definiţia lui a . Înlocuind r s , obținem

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}}}\left({\frac {4G^{{2 }}M^{{2}}}{c^{{4}}}}\right)={\frac {6\pi G^{{2}}M^{{2}}m^{{2 }}}{c^{{2}}L^{{2}}}}.

Folosind semiaxa majoră a orbitei A și excentricitatea e , raportată prin

{\frac {L^{{2}}}{GMm^{{2}}}}=A\left(1-e^{{2}}\dreapta),

ajungem la cea mai cunoscută formulă de precesiune

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right))).

Soluția exactă pentru o orbită în funcții eliptice

Introducerea variabilei adimensionale

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

ecuația orbitei

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\dreapta)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\dreapta)

poate fi simplificat

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }},

unde coeficienții adimensionali constanți g 2 și g 3 sunt definiți ca

{\begin{aligned}g_{{2}}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}} )),\\g_{{3}}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{{s}}^{{{2}}}{24a^{{2}}} }-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{16b^{{{2}}}}.\end{aliniat}}

Soluția acestei ecuații pentru orbită este dată ca o integrală nedefinită

\varphi -\varphi _{{0}}=\int {\frac {d\zeta }{{\sqrt {4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}}}}}.

Rezultă că, până la o defazare, , unde este funcția eliptică Weierstrass cu parametrii g 2 și g 3 , iar φ 0 este constanta de integrare (posibil complexă). $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$ $\wp$

Caracterul calitativ al orbitelor posibile

O analiză calitativă completă a posibilelor orbite din câmpul Schwarzschild a fost efectuată pentru prima dată de Yu. Hagihara în 1931.

Traiectorii în câmpul Schwarzschild sunt descrise prin ecuația mișcării

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}.

Dacă discriminantul este mai mare decât 0, atunci ecuația cubică $\Delta =g_{{2}}^{{3}}-27g_{{3}}^{{2}}$

G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3}}=0\,

are trei rădăcini reale diferite e 1 , e 2 și e 3 , care pot fi sortate în ordine descrescătoare

e_{{1}}>e_{{2}}>e_{{3}}.

Într-un astfel de caz, soluția este o funcție eliptică cu două semiperioade, una pur reală $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$

\omega _{{1}}=\int _{{e_{{{1}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{{3}}-g_{ {2}}z-g_{{3}}}}}},

iar al doilea este pur imaginar

\omega _{{3}}=i\int _{{-e_{{3}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}- g_{{2}}z-g_{{3}}}}}}.

Rădăcina intermediară rămasă determină semiperioada complexă ω 2 \u003d -ω 1 - ω 3 . Aceste mărimi sunt legate de rădăcinile corespunzătoare prin ecuații ( i = 1, 2, 3). Prin urmare, când ( n este un număr întreg), derivata lui ζ devine 0, adică traiectoria ajunge la periastron sau apoaster - punctul de apropiere și respectiv îndepărtare maximă: $\wp (\omega _{{i}})=e_{{i}}$ $\varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}$

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ {\mathrm {when}}\ \zeta =\wp (-\omega _{{i}})=e_{{i}}

deoarece

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\ zeta -g_{{3}}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3 }}\dreapta).

Natura calitativă a orbitei depinde de alegerea lui φ 0 . Soluțiile cu φ 0 = ω 2 corespund fie unor orbite care oscilează de la ζ= e 2 la ζ= e 3 , fie unor traiectorii care merg la infinit (ζ=-1/12). În schimb, soluțiile cu φ 0 egal cu ω 1 sau orice alt număr real descriu orbite convergente spre centru, deoarece ζ real nu poate fi mai mic decât e 1 și, prin urmare, va crește inevitabil la infinit.

Orbite cvasi-eliptice

Soluțiile în care φ 0 = ω 2 dau valori reale ale lui ζ cu condiția ca energia E să satisfacă inegalitatea E 2 < m 2 c 4 . În acest caz, ζ ia valori în intervalul e 3 ≤ ζ ≤ e 2 . Dacă ambele rădăcini sunt mai mari decât − 1 ⁄ 12 , atunci ζ nu poate lua această valoare, care corespunde particulei care merge la infinit, astfel încât corpul va efectua o mișcare finită, care poate fi reprezentată ca o mișcare de-a lungul unei elipse precedente. Coordonata radială a corpului va fluctua la nesfârșit între $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

r_{{min}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{2}}}}

și

r_{{max}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{1}}}},

care corespund valorilor extreme ale lui ζ . Perioada reală a funcţiei eliptice Weierstrass este 2ω 1 ; astfel, particula revine la aceeași rază atunci când coordonata unghiulară crește cu 2ω 1 , care, în general, diferă de 2π. Prin urmare, orbita de obicei precesează, dar la , unghiul de precesie pe rotație (2ω 1 − 2π) este destul de mic. $r_{{min}}\ll r_{g}$

Orbite circulare stabile

Cazul special 2 e 2 = 2 e 3 = − e 3 corespunde soluției cu ζ = const = e 2 = e 3 . Rezultă o orbită circulară cu r = r exterior nu mai puțin de 3 r s . Astfel de orbite sunt stabile, deoarece micile perturbări ale parametrilor duc la scindarea rădăcinilor, ducând la orbite cvasi-eliptice. De exemplu, dacă o particulă este ușor „împinsă” în direcția radială, atunci ea va începe să oscileze în jurul razei neperturbate, descriind o elipsă care precedă.

Orbite infinite

Deoarece r tinde spre infinit, ζ tinde spre − 1 ⁄ 12 . Prin urmare, orbitele care se retrag sau se apropie la infinit de la infinit de corpul central corespund soluțiilor periodice în care − 1 ⁄ 12 se încadrează în intervalul ζ accesibil , adică pentru e 3 ≤ − 1 ⁄ 12 ≤ ζ ≤ e 2 .

Orbite circulare asimptotic

Un alt caz special îi corespunde − e 3 = 2 e 2 = 2 e 1 , adică două rădăcini ale lui G ( ζ ) sunt pozitive și egale între ele, iar a treia este negativă. Orbitele în acest caz sunt spirale, răsucindu-se sau înfășurându-se, deoarece φ tinde spre infinit (indiferent pozitiv sau negativ) pe un cerc cu raza r , definit de relația

{\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

Notând rădăcina repetată e = n ²/3, obținem ecuația orbitei, care este ușor de verificat prin înlocuire directă:

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{{2}}}{\cosh ^{{ 2}}n\varphi}}.

În astfel de cazuri, coordonata radială a particulei este între 2 r s și 3 r s .

Ecuația unor astfel de orbite poate fi obținută din expresia funcției eliptice Weierstrass în termenii funcțiilor eliptice Jacobi

\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})=e_{{1}}+\left(e_{{1}}-e_{{3}}\right){\frac {{ \mathrm {cn}}^{{2}}w}{{\mathrm {sn}}^{{2}}w}},

unde este modulul $w=(\phi -\phi _{{0}}){\sqrt {e_{{1}}-e_{{3}}}}$

k={\sqrt {{\frac {e_{{2}}-e_{{3}}}{e_{{1}}-e_{{{3}}}}}}.

În limita coincidenței e 2 și e 1 , modulul tinde spre unitate, iar w merge la n (φ − φ 0 ). Alegând φ 0 imaginar, egal cu (un sfert din perioadă), ajungem la formula de mai sus. $iK^{{\prime ))$

Căderea în centru

În soluțiile reale , în care φ 0 este egal cu ω 1 sau alte numere reale, ζ nu poate deveni mai mic decât e 1 . Din cauza ecuațiilor de mișcare $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3}}\right)

ζ crește fără limită, ceea ce corespunde căderii pe centru r = 0 după un număr infinit de rotații în jurul lui.

Derivarea ecuației orbitelor

Din ecuația Hamilton-Jacobi

Avantajul acestei derivații este că se aplică atât mișcării particulelor, cât și propagării undelor, ceea ce duce cu ușurință la o expresie pentru deviația luminii într-un câmp gravitațional folosind principiul lui Fermat . Ideea de bază este că, din cauza dilatației în timp gravitațional, părțile frontului de undă care sunt mai aproape de masa gravitațională se mișcă mai lent decât cele care sunt mai îndepărtate, ceea ce duce la o curbură a propagării frontului de undă.

Datorită covarianței generale , ecuația Hamilton-Jacobi pentru o particulă în coordonate arbitrare poate fi scrisă ca

g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial S}{\partial x^({\mu }}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{{\nu }} }}=m^{{2}}c^{{2}}.

În metrica Schwarzschild , această ecuație ia forma

{\frac {1}{c^{{2}}\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)))\left({\frac {\partial S} {\partial t}}\right)^{{2}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S} {\partial r}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{r^{{2}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }} \right)^{{2}}=m^{{2}}c^{{2}},

unde planul de referință al sistemului de coordonate sferice este situat în planul orbitei. Timpul t și longitudinea φ sunt coordonate ciclice , deci soluția pentru funcția de acțiune S poate fi scrisă ca $\theta$

S=-Et+L\varphi +S_{{r}}(r)\,,

unde E și L reprezintă energia particulei și respectiv momentul unghiular al acesteia . Ecuația Hamilton-Jacobi conduce la o soluție integrală pentru partea radială S r (r)

S_{{r}}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b ^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}} }+{\frac {1}{r^{{{2}}}}\dreapta)}}.

Diferențierea funcției S în mod obișnuit

{\frac {\partial S}{\partial L))=\varphi +{\frac {\partial S_{{r))}{\partial L))={\mathrm {constant)),

ajungem la ecuația orbitei obținută mai devreme

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\dreapta)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\dreapta).

Această abordare poate fi utilizată pentru a deriva în mod elegant rata de precesiune orbitală [20] .

În limita masei nule m (sau, echivalent, infinit a ), partea radială a acțiunii S devine

S_{{r}}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{{2}}}{\left(r-r_{{s} }\right)^{{2}}}}-{\frac {b^{{2}}}{r\left(r-r_{{s}}\right)}}}},

din această expresie, se derivă o ecuație pentru deviația unui fascicul de lumină [20] .

Din ecuațiile lui Lagrange

În relativitatea generală, particulele libere cu masă neglijabilă m , respectând principiul echivalenței , se deplasează de-a lungul geodezicilor în spațiu -timp create de mase gravitaționale. Geodeziile spațiu-timp sunt definite ca curbe ale căror mici variații — pentru punctele de început și de sfârșit fixe — nu își modifică lungimea s . Acest lucru poate fi exprimat matematic folosind calculul variațiilor

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_({\mu \nu }}{\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }}{\ frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,

unde τ este timpul propriu , s = cτ este lungimea în spațiu-timp, iar mărimea T este definită ca

2T=c^{{2}}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{{2}}=g_{{\mu \nu }}{\frac {dx^ {{\mu }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{ r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({ \frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

prin analogie cu energia cinetică . Dacă, pentru concizie, derivata în raport cu timpul propriu se notează cu un punct

{\dot {x}}^{{\mu }}={\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }},

atunci T poate fi scris ca

2T=c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\punct {t}} \right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\punct {r}}\right)^ {{2}}-r^{{2}}\left({\punct {\varphi }}\right)^{{2}}.

Valorile constante, cum ar fi c sau rădăcina pătrată a lui doi, nu afectează răspunsul la problema variațională și astfel, purtând variația sub integrală, ajungem la principiul variațional al lui Hamilton.

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}({\sqrt {2T}}}}d\tau ={\frac {1}{c} }\delta \int Td\tau .

Rezolvarea problemei variaționale este dată de ecuațiile Lagrange

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^({\sigma }}}}\right)={\frac { \partial T}{\partial x^{{\sigma )))).

Când sunt aplicate la t și φ , aceste ecuații conduc la existența unor mărimi conservate

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }} \dreapta]=0,

care pot fi rescrise ca ecuații pentru L și E

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

După cum se arată mai sus , înlocuirea acestor ecuații în definiția metricii Schwarzschild duce la ecuația orbitei.

Din principiul lui Hamilton

Integrala de acțiune pentru o particulă dintr-un câmp gravitațional are forma

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{{\ mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}}{\frac {dx^({\nu }}}{dq}}}}dq},

unde τ este timpul propriu și q este o parametrizare lină a liniei mondiale a particulei. Dacă aplicăm calculul variațiilor , atunci din această expresie urmează imediat ecuațiile pentru geodezice. Calculele pot fi simplificate luând variația pătratului integrandului. În câmpul Schwarzschild, acest pătrat este egal cu

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_({\mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}} {\frac {dx^{{\nu }}}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left ({\frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left( {\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2} }.

Calculând variația, obținem

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\ frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2}}\right ].

Luând variația numai în longitudine φ

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{{2}}{\frac {d\varphi } {dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

împărțiți prin pentru a obține o variație a integrandului $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\ delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d \delta \varphi }{dq}}.

În acest fel

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\ frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},

iar integrarea pe părţi duce la

0=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq} }\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.

Variația de longitudine dispare la punctele de limită, iar primul termen dispare. Integrala poate fi egală cu zero pentru o alegere arbitrară a δφ numai dacă ceilalți factori din integrală sunt întotdeauna egali cu zero. Astfel ajungem la ecuația mișcării

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.

La variația în timp t , obținem

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{{s}} }{r}}\right)c^{{2}}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},

care după împărţirea la dă o variaţie a integrandului $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau } }{\frac {d\delta t}{dq}}.

De aici

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right) {\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

iar integrarea pe părţi duce la expresie

0=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d }{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq },

din care rezultă ecuaţia mişcării

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\ dreapta]=0.

Dacă integrăm aceste ecuații de mișcare și determinăm constantele de integrare, ajungem din nou la ecuații

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Aceste două ecuații pentru integralele mișcării L și E pot fi combinate într-una care va funcționa chiar și pentru fotoni și alte particule fără masă pentru care timpul potrivit de-a lungul geodezicei este zero:

{\frac {r^{{2}}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{{s}}}{r}}.

Abordări post-newtoniene

Întrucât în problemele reale, aproximarea corpului de testare are uneori o acuratețe insuficientă, există abordări care o rafinează, una dintre ele este utilizarea formalismului post-newtonian (PN-formalism), dezvoltat în lucrările lui Eddington, Fock, Damour și alții relativiști. oameni de știință. Exagerând oarecum, putem spune că în această abordare, ecuațiile de mișcare a corpurilor, obținute din ecuațiile Einstein, sunt extinse în serii în termeni de un mic parametru PN , iar termenii sunt luați în considerare doar într-un anumit grad de acest parametru. Chiar și utilizarea nivelului 2,5PN duce la predicția radiației gravitaționale și la scăderea corespunzătoare a perioadei de revoluție a unui sistem legat gravitațional. Corecțiile de ordin superior apar și în mișcarea obiectelor, cum ar fi pulsarii binari. Mișcarea planetelor și a sateliților acestora, a asteroizilor, precum și a navelor spațiale din sistemul solar este acum calculată în prima aproximare PN. $1/c^{2}$ $(1/c^{5})$

Corecții la soluția geodezică

Radiația undelor gravitaționale și pierderea energiei și a momentului unghiular

Conform relativității generale , două corpuri care orbitează unul pe altul emit unde gravitaționale , ceea ce face ca orbitele să difere de geodezicele calculate mai sus. Pentru planetele sistemului solar, acest efect este extrem de mic, dar poate juca un rol semnificativ în evoluția stelelor binare apropiate .

Modificările orbitale sunt observate în mai multe sisteme, dintre care cel mai faimos este pulsarul binar cunoscut sub numele de PSR B1913+16 , pentru care Alan Hulse și Joseph Taylor au primit Premiul Nobel pentru Fizică în 1993 pentru cercetările lor . Cele două stele neutronice din acest sistem sunt foarte aproape una de cealaltă și completează o orbită în 465 de minute . Orbita lor este o elipsă alungită cu o excentricitate de 0,62. Conform teoriei generale a relativității, perioada scurtă de revoluție și excentricitatea ridicată fac din sistem o sursă excelentă de unde gravitaționale, ceea ce duce la pierderi de energie și la o scădere a perioadei de revoluție. Modificările observate în perioada de peste treizeci de ani sunt în concordanță bună cu predicțiile relativității generale, cu cea mai bună acuratețe care se poate realiza acum (aproximativ 0,2% din 2009 ).

Formula care descrie pierderea energiei și a momentului unghiular din cauza radiației gravitaționale de la două corpuri în problema Kepler a fost obținută în 1963 [21] . Rata pierderilor de energie (mediată pe perioada) este dată ca [22]

-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{4}}m_{{1}}^{{2}}m_{{2}}^ {{2}}\left(m_{{1}}+m_{{2}}\right)}{5c^{{5}}a^{{5}}\left(1-e^{{2 }}\right)^{{7/2}}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{{2}}+{\frac {37}{96}}e^ {{4}}\dreapta),

unde e este excentricitatea și a este semi- axa majoră a orbitei eliptice. Parantezele unghiulare din partea stângă a expresiei indică o medie pe o orbită. În mod similar, pentru pierderea momentului unghiular, putem scrie

-\left\langle {\frac {dL_{{z}}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{7/2}}m_{{1}}^{{2}} m_{{2}}^{{2}}{\sqrt {m_{{1}}+m_{{2}}}}}{5c^{{5}}a^{{7/2}}\ stânga(1-e^{{2}}\right)^{{2}}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{{2}}\right).

Pierderile de energie și moment unghiular cresc semnificativ dacă excentricitatea tinde spre 1, adică dacă elipsa este foarte alungită. Intensitatea radiației crește, de asemenea, odată cu scăderea dimensiunii a a orbitei. Pierderea momentului unghiular în timpul radiației este astfel încât, cu timpul, excentricitatea orbitei scade și tinde să fie circulară cu o rază în scădere constantă.

Puterea radiației gravitaționale a sistemelor planetare este neglijabilă, de exemplu, pentru sistemul solar - 5 kW , din care aproximativ 90% cade pe sistemul Soare-Jupiter. Acest lucru este neglijabil în comparație cu energia cinetică a planetelor (durata de viață așteptată a sistemului solar este cu 13 ordine de mărime mai mare decât vârsta universului). Radiația stelelor binare apropiate este mult mai mare, de exemplu, pulsarul binar Hulse-Taylor menționat mai sus ( PSR B1913+16 ), ale cărui componente sunt separate de o distanță de ordinul razei Soarelui, emite unde gravitaționale cu o putere de 7,35 × 10 24 W , care este 2% din puterea Soarelui. Din cauza pierderii de energie, distanța dintre componentele acestui sistem binar scade cu 3,5 m pe an, iar după 300 de milioane de ani stelele se vor contopi într-una singură. Pe măsură ce componentele unei stele binare se apropie unele de altele, puterea radiației gravitaționale crește invers proporțional cu puterea a cincea a distanței dintre ele, iar imediat înainte de fuziune, puterea atinge valori enorme: este radiată energie echivalentă cu mai multe mase solare. în zecimi de secundă, ceea ce corespunde unei puteri de 10 47 W. Aceasta este cu 21 de ordine de mărime mai mare decât luminozitatea Soarelui și de miliarde de ori mai mare decât luminozitatea galaxiei noastre (această putere mare face posibilă detectarea undelor gravitaționale în timpul fuziunii stelelor neutronice la o distanță de sute de milioane de ani lumină). Puterea undelor gravitaționale în timpul fuziunii găurilor negre este și mai mare: în ultimele milisecunde înainte de fuziune, este de zeci de ori mai mare decât luminozitatea tuturor stelelor din partea observabilă a Universului.

Relativitatea numerică

Dacă corpurile sunt atât de compacte încât se pot mișca separat, chiar și atunci când viteza orbitală atinge o fracțiune semnificativă din viteza luminii, expansiunea post-newtoniană încetează să funcționeze în mod fiabil. Acest lucru este posibil în ultimele etape ale evoluției sistemelor binare constând din stele neutronice sau găuri negre - datorită radiației gravitaționale, componentele cad din ce în ce mai aproape una de cealaltă și în cele din urmă se contopesc. În acest caz, corpurile nu mai pot fi reprezentate ca simetrice punctuale sau sferice și se impune aplicarea metodelor de soluție numerică tridimensională exactă a ecuațiilor Einstein și, în cazul stelelor neutronice, magnetohidrodinamică relativistă, care sunt numită relativitate numerică . Primul test experimental, care a confirmat predicțiile teoriei generale a relativității și ale metodelor relativității numerice cu o precizie de 94%, a fost descoperirea undelor gravitaționale în septembrie 2015.

Vezi și

Note și link-uri

↑ 1 2 Rosever N. T. Periheliul lui Mercur. De la Le Verrier la Einstein = Roseveare NT Perigeliul lui Mercur de la Le Verrier la Einstein / Per. din engleza. A. S. Rastorguev, ed. V. K. Abalakina. - Moscova: Mir, 1985. - 246 p. — 10.000 de exemplare.
↑ Le Verrier, UJJ Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète (franceză) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences :revistă. - 1859. - Vol. 49 . - P. 379-383 .
↑ 1 2 3 Pais 1982
↑ Marie-Antoinette Tonnela FUNDAMENTELE ELECTROMAGNETISMULUI ȘI TEORIA RELATIVITĂȚII MOSCOVA: EDITURA DE LITERATURĂ STRĂINĂ, 1962. Capitolul II, § 1.2.
↑ 1 2 A. F. Bogorodsky Gravitația universală Kiev: Naukova Dumka, 1971. Capitolul 2.
↑ PS Laplace Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805.
↑ Citat din cartea: Boris Nikolaevich Vorontsov-Velyaminov Laplace Moscova: Zhurgazob'edinenie, 1937.
↑ Feynman tratează această problemă în volumul 6 din The Feynman Lectures on Physics , capitolul 21, § 1.
↑ A.F. Bogorodsky Ibid. Capitolul 5, paragraful 15.
↑ Comerciant G.-Yu. Capitolul I // Relativitatea inerției = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitate der Tragheit. Berlin, 1972 / Per. cu el. K. A. Bronnikova. Sub redacția prof. K. P. Staniukovici. — M .: Atomizdat , 1975. — 128 p. - 6600 de exemplare.
↑ Zenneck, J. Gravitația (germană) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - Bd. 5 . - S. 25-67 . (link indisponibil)
↑ 1 2 Vizgin V.P. Capitolul I, secțiunea 2. // Teoria relativistă a gravitației (origini și formare. 1900-1915). - Moscova: Nauka, 1981. - 352 p. - 2000 de exemplare.
^ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 , în Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer) . — T. 3: 193–252
↑ Teoria gravitației lui Newton poate fi formulată ca o curbură a acestei conexiuni, vezi Mizner Ch., Thorne K., Wheeler J. Gravity. M.: Mir, 1977. Volumul 1. Copie de arhivă din 9 aprilie 2016 la capitolul 12 Wayback Machine .
↑ Landau 1975.
↑ Acest lucru este valabil pentru particulele de materie praf și pentru corpurile care nu se rotesc prea repede, așa cum se arată în §§ 4 și 7 din capitolul IV al cărții lui J. L. Sing General Theory of Relativity , Moscova, IL, 1963.
↑ Weinberg 1972.
↑ Whittaker 1937.
↑ Landau și Lifshitz (1975), pp. 306-309.
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Fizica teoretică: Proc. alocație: pentru universități. În 10 vol. T. II. Teoria câmpului. - Ed. a 8-a, stereo. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 536 p. - ISBN 5-9221-0056-4 (vol. II). Secțiunea 101.
↑ Peters PC, Mathews J. Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit // Physical Review . - 1963. - Vol. 131 . - P. 435-440 . - doi : 10.1103/PhysRev.131.435 .
↑ Landau și Lifshitz, p. 356-357.

Literatură

Adler, R; Bazin M. și Schiffer M. Introducere în relativitatea generală. - New York: McGraw-Hill Education , 1965. - S. 177-193. - ISBN 978-0-07-000420-7 .
Albert Einstein . Sensul relativității . — al 5-lea. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1956. - pp . 92-97 . - ISBN 978-0-691-02352-6 .
Hagihara, YTeoria traiectoriilor relativiste într-un câmp gravitațional al lui Schwarzschild (engleză) // Jurnalul Japonez de Astronomie și Geofizică : jurnal. - 1931. - Vol. 8 . - P. 67-176 . — ISSN 0368-346X .
Lanczos, C Principiile variaționale ale mecanicii . — al 4-lea. - New York: Dover Publications , 1986. - S. 330-338 . — ISBN 978-0-486-65067-8 .
Landau L. D., Lifshits E. M. Fizica teoretică: Proc. alocație: pentru universități. În 10 vol. T. II. Teoria câmpului . - Ed. a VIII-a, stereo .. - M . : FIZMATLIT, 2003. - 536 p. — ISBN 5-9221-0056-4 . (Rusă) - § 101.
Misner, CW ; Kip S. Thorne și Wheeler, JA . gravitatie. —San Francisco: W. H. Freeman, 1973. - S. Capitolul 25 (p. 636-687), §33.5 (p. 897-901) și §40.5 (p. 1110-1116). - ISBN 978-0-7167-0344-0 . (Vezi Gravitația (carte) .)
Pais, A. Subtil este Domnul: Știința și viața lui Albert Einstein (engleză) . - Oxford University Press , 1982. - P. 253-256. — ISBN 0-19-520438-7 .
Pauli, W Teoria relativității . - New York: Dover Publications , 1958. - S. 40-41 , 166-169. — ISBN 978-0-486-64152-2 .
Rindler, W. Relativitatea esențială: specială, generală și cosmologică . - revizuit al 2-lea. - New York: Springer Verlag , 1977. - S. 143-149 . - ISBN 978-0-387-10090-6 .
Rosever N. T. Periheliul lui Mercur. De la Le Verrier la Einstein = Roseveare NT Perigeliul lui Mercur de la Le Verrier la Einstein / Per. din engleza. A. S. Rastorguev, ed. V. K. Abalakina. - Moscova: Mir, 1985. - 246 p. — 10.000 de exemplare.

Synge, JL . Relativitatea: Teoria generală. - Amsterdam: Editura North-Holland , 1960. - S. 289-298. - ISBN 978-0-7204-0066-3 .
Robert Wald . Relativitatea generală. - Chicago: The University of Chicago Press , 1984. - pp. 136-146. - ISBN 978-0-226-87032-8 .
Walter, S. Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 // The Genesis of General Relativity / Renn, J.. - Berlin: Springer, 2007. - Vol. 3. - P. 193-252.

Weinberg , S. Gravitația și Cosmologie . - New York: John Wiley and Sons , 1972. - S. 185-201 . — ISBN 978-0-471-92567-5 .
Whittaker, ET Un tratat despre dinamica analitică a particulelor și a corpurilor rigide, cu o introducere în problema celor trei corpuri . — al 4-lea. - New York: Dover Publications , 1937. - P. 389-393. — ISBN 978-1-114-28944-4 .