Legea Biot-Savart-Laplace

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 26 iunie 2014; verificările necesită 63 de modificări .

Legea Biot-Savár-Laplace (de asemenea legea Biot-Savár ) este o lege fizică pentru determinarea vectorului de inducție al unui câmp magnetic generat de curent electric continuu . Stabilit experimental de Biot și Savart și formulat într-un mod general de Laplace .

Conform acestei legi, inducția magnetică în vid, creată de distribuția spațială a densității de curent , într-un punct cu un vector rază este (în SI ) $\mathbf {j} (\mathbf {r} )$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

unde este elementul de volum, iar integrarea se realizează pe toate zonele, unde (vectorul corespunde punctului curent în timpul integrării). Există, de asemenea, o formulă pentru potențialul vectorial al câmpului magnetic . $dV$ $\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$

Rolul legii Biot-Savart-Laplace în magnetostatică este similar cu rolul legii Coulomb în electrostatică. Este utilizat pe scară largă pentru a calcula câmpul magnetic dintr-o distribuție dată de curenți.

În metodologia modernă, legea Biot-Savart-Laplace, de regulă, este considerată o consecință a două ecuații Maxwell pentru un câmp magnetic în condiția unui câmp electric constant.

Legea Biot-Savart în diverse cazuri

Legea Biot-Savart este folosită pentru a calcula câmpul magnetic al curenților în vid. Poate fi folosit și în cazul unui mediu cu permeabilitate magnetică independentă de coordonate (apoi este înlocuit peste tot cu ). Dar în prezența unui magnet neomogen , formulele sunt inaplicabile, deoarece pentru a obține integrarea, ar fi necesar să se includă atât curenții de conducere, cât și curenții moleculari, iar aceștia din urmă nu sunt cunoscuți în prealabil. $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$ $\mathbf {B}$

Pentru curenții care circulă printr-un conductor subțire

Lasă un curent continuu să circule printr-un circuit (conductor) în vid, punctul în care este căutat câmpul. Atunci inducția câmpului magnetic în acest punct este exprimată prin integrală (în sistemul SI de unități ) $eu$ $\gamma$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\ mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

unde parantezele pătrate denotă produsul vectorial , este poziția punctelor de contur , este vectorul elementului de contur (curentul curge de-a lungul acestuia); este constanta magnetică . $\mathbf {r}$ $\gamma$ $d\mathbf {r}$ $\mu_{0}$

Potențialul vectorial este dat de integrală (în sistemul SI )

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}

Conturul poate avea ramuri. În acest caz, expresia dată mai sus trebuie înțeleasă ca suma peste ramuri, termenul pentru fiecare ramură este o integrală a formei scrise. Pentru un circuit simplu (neramificat) (și în condițiile aproximării magnetostatice, care implică absența acumulării de sarcină), curentul este același în toate secțiunile circuitului și poate fi scos din semnul integral. $\gamma$ $eu$

Dacă luăm ca punct de plecare punctul în care trebuie să găsiți vectorul de inducție magnetică, atunci formula este ușor simplificată: $\mathbf {r} _{0}=0$

d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]} {r^{3}}}

unde este vectorul care descrie curba conductorului cu curent , este modulul , este vectorul de inducție magnetică creat de elementul conductor . ${\vec {r))$ $eu$ $r$ ${\vec {r))$ $d{\vec B}$ $d{\vec r}$

Direcția este perpendiculară pe planul care conține vectorii și . Direcția vectorului de inducție magnetică poate fi găsită prin regula șurubului drept : direcția de rotație a capului șurubului dă direcția dacă mișcarea de translație a brațului corespunde direcției curentului în element. Modulul vectorului este dat de (în SI ) $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf B}$

dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha {r^{2)}},

unde este unghiul dintre vector (vectorul rază trasat de la elementul conductor până la punctul în care se caută câmpul) și elementul conductor. $\alfa$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$

Câmpul din centrul inelului

Să găsim câmpul magnetic în centrul unei bobine inelare de rază cu curent . Să potrivim originea cu punctul în care se caută inducția. Vectorul rază al elementului curent care creează câmpul (elementul arcului inelului) va fi scris ca , unde este vectorul unitar în planul inelului, îndreptat din centru. Elementul arc este scris ca , unde este vectorul tangent unitar la cerc. Conform formulei Biot-Savart, $R$ $eu$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{r}$ $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r }}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}dl \,{\vec {e}}_{z}

deoarece este vectorul unitar de-a lungul axei inelului. Pentru a găsi câmpul creat de întregul inel, și nu de un singur element, trebuie să integrați. Rezultat: ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z}$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R ^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}

întrucât integrala este pur și simplu circumferința unui cerc . $2\pi R$

Câmpul unui fir drept infinit

Să găsim acum câmpul magnetic creat de un conductor drept infinit cu curent la distanță de conductor. De data aceasta alegem originea în punctul de proiecție P, unde se caută inducția, pe axa firului . Apoi vectorul rază al elementului curent care creează câmpul (un element al unui segment de linie dreaptă) va fi scris ca , în timp ce , iar vectorul rază al punctului P ca . Conform formulei Biot-Savart, $eu$ $R_{0}$ $z$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=z{\vec {e}}_{z}$ $d{\vec {r}}=dz\,{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {r}}_{0}=R_{0}{\vec {e}}_{r}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {r}}\times ({\vec { r}}_{0}-{\vec {r}})]}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[dz\,{\vec {e}}_{z}\times (R_{0}{\vec {e}}_{ r}-z{\vec {e}}_{z})]}{|R_{0}{\vec {e}}_{r}-z{\vec {e}}_{z}|^ {3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R_{0}}{(R_{0}^{2}+z^{2}) ^{3/2}}}\,dz\,{\vec {e}}_{\varphi }

deoarece este un vector unitar de-a lungul unui cerc a cărui axă de simetrie este firul și . Pentru a găsi câmpul întregului fir, trebuie să integrați din : ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}={\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{z}=0$ $z$ $-\infty$ $+\infty$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}IR_{0}{\vec {e}}_{\varphi }}{ 4\pi }}\int {\frac {dz}{(R_{0}^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I }{2\pi R_{0}}}\,{\vec {e}}_{\varphi }

deoarece integrala este egală (la luare se face o înlocuire ). Rezultatul coincide cu cel obtinut printr-o alta metoda, mai simpla pentru o geometrie data - din ecuatia lui Maxwell pentru intensitatea campului magnetic in forma integrala in absenta campurilor variabile: . Dacă se alege un cerc cu rază ca contur de-a lungul căruia se realizează integrarea , atunci, din cauza simetriei, câmpul în toate punctele sale va avea aceeași mărime și va fi direcționat de-a lungul tangentei ( , ). Atunci integrarea va da , după care avem . În consecință, pentru un vid (și pentru un mediu magnetic omogen cu o permeabilitate ) va apărea în schimb . ${\displaystyle 2/R_{0}^{2))$ $z=R_{0}\tan \beta$ ${\vec {H}}$ $\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I$ $R_{0}$ $H$ ${\vec {H}}=H{\vec {e}}_{\varphi }$ $d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ $2\pi R_{0}H$ $H=I/2\pi R_{0)$ $B=\mu _{0}I/2\pi R_{0}$ $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$

Pentru curenți de suprafață și în vrac

Pentru cazul în care sursa câmpului magnetic sunt curenți distribuiti volumetric (A/m 2 ), caracterizați printr-un vector de densitate de curent dependent de coordonate , formula legii Biot-Savart pentru inducția magnetică și formula potențialului vectorial iau forma (în sistemul SI ) $\mathbf {j}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

unde este elementul de volum, iar integrarea se realizează pe întreg spațiul (sau peste toate regiunile acestuia, unde (vectorul corespunde punctului curent în timpul integrării (poziția elementului ). $dV$ $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $dV$

Pentru cazul în care sursa câmpului magnetic este curentul (A/m) care curge pe o anumită suprafață, $\mathbf{i}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

unde este elementul de zonă al suprafeței purtătoare de curent, peste care se realizează integrarea. $dS$

Locul logic al legii în magnetostatică

În prezentarea modernă a doctrinei electromagnetismului, legea Biot-Savart-Laplace este de obicei poziționată ca o consecință a două ecuații Maxwell pentru un câmp magnetic sub condiția unui câmp electric constant - și este derivată din acestea prin transformări matematice. În această logică, ecuațiile lui Maxwell acționează ca enunțuri mai fundamentale, postulate (inclusiv pentru că formula Biot-Savart nu poate fi pur și simplu generalizată la cazul general al câmpurilor care depind de timp).

Cu toate acestea, din punct de vedere istoric, apariția legii Biot-Savart a precedat ecuațiile Maxwell și a făcut parte din baza experimentală pentru formularea acestora din urmă. Precursorii stabilirii acestei legi au fost experimentele lui Ampère privind studiul interacțiunii de forță a conductorilor cu curentul. Această interacțiune de forță poate fi descrisă fără a menționa deloc sintagma „câmp magnetic”, dar interpretarea interacțiunii curenților a fost dezvoltată treptat ca interacțiune a unui curent cu câmpul creat de un alt curent, conform egalităților:

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

unde și sunt raza-vectori ai elementelor de lungime ale conductorilor și , și este forța elementului (creând un câmp în punctul ) asupra elementului . De fapt, în același timp, „câmpul magnetic” a devenit o entitate fizică independentă și s-a pus problema definirii câmpului, și nu a forței. Biot și Savard au luat parte la aceste lucrări în 1820, iar Laplace a propus o formulă generală pentru domeniu . El a mai arătat că cu ajutorul legii Biot-Savart este posibil să se calculeze câmpul unei sarcini punctuale în mișcare (presupunând că mișcarea unei particule încărcate este un curent). În logica vremii, această lege este primară. ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {l}}_{2}$ $d^{2}{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{2}$

Din punct de vedere formal, în cazul magnetostaticei, ambele abordări pot fi considerate egale, adică în acest sens, pe care dintre ele să se declare ca poziții inițiale și care ca consecințe depinde de alegerea axiomatizării, care pentru magnetostatică poate fie unul sau altul cu drepturi egale si practic egal cu comoditatea. Dar, așa cum am menționat mai sus, abordarea bazată pe ecuațiile lui Maxwell domină acum.

Legea Biot-Savart-Laplace poate fi derivată într-un alt mod, folosind transformarea Lorentz a componentelor tensorului câmpului electromagnetic dintr-un cadru de referință în mișcare, unde există doar un câmp electric al unui anumit sistem de sarcină, într-un cadru de referință fix. [1] . Se dovedește că câmpul magnetic în legea Biot-Savart este determinat cu o inexactitate relativă egală în ordinea mărimii cu , unde este viteza luminii și este viteza de derive a particulelor încărcate incluse în densitatea curentului . $v^{2}/c^{2}$ $c$ ${\mathbf v}$ $\vec{j}$

Din punct de vedere practic, pentru calcule, legea Biot-Savart-Laplace joacă același rol în magnetostatică ca legea Coulomb în electrostatică.

Derivarea legii din ecuațiile lui Maxwell

Legea Biot-Savart-Laplace poate fi derivată din ecuațiile lui Maxwell pentru un câmp staționar. În acest caz, derivatele de timp sunt egale cu 0, deci ecuațiile pentru câmpul în vid iau forma (în sistemul SI )

\operatorname {putrezire} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0

\operatorname {putrezire} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho

unde este densitatea de curent în spațiu, este constanta electrică , este densitatea de sarcină . În acest caz, câmpurile electrice și magnetice se dovedesc a fi independente. ${\mathbf j}$ $\varepsilon_{0}$ $\rho$

Să folosim potențialul vectorial pentru câmpul magnetic ( ). Invarianța gauge a ecuațiilor permite să fie impusă o condiție suplimentară potențialului vectorial: . Extinderea rotorului dublu în ecuația pentru prin formula de analiză vectorială obținem pentru potențial o ecuație de tipul ecuației Poisson : ${\mathbf A}$ ${\mathbf B}=\operatorname {putrezire}\,{\mathbf A}$ $\operatorname {div}\,{\mathbf A}=0$ $\operatorname {putrezire} \,\mathbf {B}$ ${\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .

Soluția sa particulară este dată de o integrală similară potențialului newtonian :

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\ mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV

Atunci câmpul magnetic este determinat de integrală

\mathbf {B} =\operatorname {putrezire} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac { 1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r})\right]dV={\frac {\mu _{0} }{4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV

similară ca formă cu legea Biot-Savart-Laplace. Această corespondență poate fi completată dacă folosim funcții generalizate și notăm densitatea de curent spațială corespunzătoare bobinei cu curent în spațiul gol. Trecând de la integrare pe întreg spațiul la integrala iterată de-a lungul virajului și de-a lungul planurilor ortogonale cu acesta și ținând cont de faptul că , obținem legea Biot-Savart-Laplace pentru câmpul virajului cu curent. ${\mathbf j}dV=I{\mathbf {dl))$

Note

↑ Fedosin, Sergey G. (2021). „Teorema privind câmpul magnetic al corpurilor încărcate rotative”. Progrese în cercetarea electromagnetică M . 103 : 115-127. arXiv : 2107.07418 . Cod biblic : 2021arXiv210707418F . DOI : 10.2528/PIERM21041203 .// Teorema privind câmpul magnetic al corpurilor încărcate rotative Arhivat 14 august 2021 la Wayback Machine .

Literatură

Sivukhin DV Curs general de fizică. - Ed. al 4-lea, stereotip. — M .: Fizmatlit ; Editura MIPT, 2004. - Vol. III. Electricitate. — 656 p. - ISBN 5-9221-0227-3 ; ISBN 5-89155-086-5 ..
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .