Legea lui Snell

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 5 modificări .

Legea lui Snell (de asemenea Snell sau Snell ) descrie refracția luminii la limita a două medii transparente. Este, de asemenea, aplicabil la descrierea refracției undelor de altă natură, de exemplu, undele sonore. Pentru o explicație teoretică a legii lui Snell, vezi articolul Refracție .

Legea a fost descoperită în 1621 de matematicianul olandez Willebrord Snellius [1] . Publicat ceva mai târziu (și probabil redescoperit independent) de René Descartes .

Formulare

Unghiul de incidență al luminii pe suprafață este legat de unghiul de refracție prin relația:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

unde este indicele de refracție al mediului din care incide lumina pe interfață;

n_{1}

\theta _{1}

- unghiul de incidență al luminii - unghiul dintre fasciculul incident la suprafață și normala la suprafață;

n_{2}

este indicele de refracție al mediului în care intră lumina după trecerea prin interfață;

\theta _{2}

- unghiul de refracție a luminii - unghiul dintre fasciculul care trece prin suprafață și normala la suprafață. Derivarea legii

Lasă-l să se afle în planul desenului. Lăsați axa să fie îndreptată orizontal, axa - vertical. Din considerentele de simetrie rezultă că și (pentru undele incidente, reflectate și, respectiv, refractate) trebuie să se afle în același plan. $\vec{k}$ $X$ $y$ ${\vec {k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Să evidențiem o componentă polarizată plană din fasciculul incident, în care unghiul dintre și plan este arbitrar. Atunci, dacă alegem faza inițială egală cu zero, atunci: ${\vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Câmpul rezultat în primul și, respectiv, al doilea mediu sunt:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Este evident că componentele tangenţiale şi trebuie să fie egale la interfaţă, adică la $E_1$ $E_2$ $y=0.$

Apoi:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}x+\alpha '')}.

Pentru ca ultima ecuație să fie valabilă pentru toți , este necesar ca și pentru ca aceasta să fie valabilă pentru toți , este necesar ca: $t,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $X,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

unde și sunt vitezele undei în primul și, respectiv, al doilea mediu.

v_{1}

v_{2}

De aici rezultă că ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

Domeniul de aplicare al legii

Legea lui Snell este bine definită pentru cazul „ opticii geometrice ”, adică în cazul în care lungimea de undă este suficient de mică în comparație cu dimensiunile suprafeței de refracție, în general, funcționează în cadrul unei descrieri aproximative, care este optică geometrică.

Dacă există reflexie internă totală (nu există fascicul refractat, fasciculul incident este reflectat complet de la interfața dintre medii). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

De remarcat că în cazul mediilor anizotrope (de exemplu, cristale cu simetrie scăzută sau solide deformate mecanic), refracția respectă o lege ceva mai complexă. În acest caz, dependența direcției fasciculului refractat este posibilă nu numai de direcția incidentului, ci și de polarizarea acestuia (vezi birefringența ).

Legea lui Snell nu descrie raportul dintre intensitățile și polarizările razelor incidente, refractate și reflectate, considerate în formulele Fresnel mai detaliate .

Contur istoric

Prima lege a refracției luminii, adică dependența unghiului de refracție de unghiul de incidență, a încercat să-l determine experimental pe celebrul astronom antic Claudius Ptolemeu în cartea a cincea a tratatului său „Optică” . Ptolemeu a măsurat modul în care unghiul de refracție se modifică în funcție de unghiul de incidență atunci când acesta din urmă se schimbă de la la și a compilat tabele pentru trei opțiuni de schimbare a mediului: aer-apă, aer-sticlă și apă-sticlă. De exemplu, pentru cazul aer-apă, tabelul lui Ptolemeu este următorul (pentru comparație, sunt date și datele moderne și valoarea erorii) [2] [3] : $10^{\circ )$ $80^{\circ },$

Unghiuri de refracție după Ptolemeu și conform datelor moderne (aer-apă)

Unghiul de incidentă, grade	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
datele lui Ptolemeu	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Date moderne	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Valoarea erorii	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Istoricii au ajuns la concluzia că Ptolemeu a măsurat de fapt deformarea fasciculului numai în regiunea de 60 ° și unghiuri apropiate de acesta, deoarece în toate cele trei tabele pentru această valoare eroarea este zero, iar pentru alte unghiuri a efectuat o aproximare liniară. cu coeficienţi selectaţi de el. Totuși, în realitate, dependența unghiului de refracție de unghiul de incidență este neliniară, așa că Ptolemeu a primit erori mari [2] [4] .

Fizicianul și astronomul arab din secolul al XI-lea, Ibn al-Khaytham , în „ Cartea opticăi (1021) discută și el acest subiect și oferă tabelele sale apropiate de cele ptolemeice, dar nu încearcă să exprime matematic legea cerută. [3] .

În 1990, istoricul arab al științei Roshdi Rashed , care este specializat în căutarea contribuțiilor arabe la știința mondială, a publicat un articol în care a relatat că a găsit două fragmente dintr-un manuscris arab al unui savant puțin cunoscut al al X-lea, Ibn Sal , unul dintre profesorii lui Ibn al-Haytham. Rashed a mai raportat că a fost capabil să reconstituie un text din care rezultă că ibn Sal a descoperit și formulat corect legea lui Snell. Nu există încă o confirmare independentă a afirmațiilor lui Rashed. De asemenea, este necesar să se explice de ce niciunul dintre adepții lui ibn Sal, inclusiv studentul său Ibn al-Khaytham, nu menționează această realizare fundamentală și de ce ibn Sal însuși nu relatează cu ce experimente și-a dovedit descoperirea [5] [3] .

În Europa, prima formulare a legii refracției se găsește într-un manuscris nepublicat al matematicianului englez Thomas Harriot (1602). Astronomul german Johannes Kepler , care s-a ocupat de problema alegerii celei mai bune forme de lentile incendiare, i-a cerut lui Harriot să ofere detalii despre legea deschisă, dar Harriot s-a limitat la trimiterea de tabele actualizate, invocând faptul că starea de rău nu i-a permis să facă exprima legea într-o formă adecvată publicării [6] .

O altă descoperire nepublicată a acestei legi a avut loc în 1621, când matematicianul olandez Willebrord Snell ( Snellius ) a notat legea refracției într-o formă echivalentă cu cea modernă: „ în același mediu, raportul cosecantelor unghiurilor de incidență. iar refracția rămâne constantă .” O moarte subită în 1626 l-a împiedicat pe Snell să-și publice descoperirea, dar zvonurile s-au răspândit despre el, iar o ciornă a lucrării lui Snell a supraviețuit și se află în biblioteca Universității din Amsterdam [7] .

Mai târziu, „Legea lui Snell” a fost descoperită și publicată independent de René Descartes în tratatul Discourse on Method (Dioptric Appendix, 1637). Prioritatea lui Snell a fost stabilită de Christian Huygens în 1703 (în tratatul său Dioptrics), la 77 de ani după moartea lui Snell, când această lege era deja binecunoscută; De asemenea, Huygens a fundamentat (în Treatise on Light ) derivarea legii lui Snell din teoria ondulatorie a luminii și principiul Huygens-Fresnel . Detractorii l-au acuzat pe Descartes de plagiat , suspectând că în timpul uneia dintre vizitele sale la Leiden, Descartes a auzit despre descoperirea lui Snell și a putut să se familiarizeze cu manuscrisele sale [8] . Cu toate acestea, nu există dovezi de plagiat, iar calea independentă a lui Descartes către această descoperire a fost studiată în detaliu de către istorici [9] [10] .

Principiul lui Fermat

Cunoscutul principiu [11] despre mișcarea unui fascicul de lumină de-a lungul drumului dintre două puncte, care necesită cel mai mic timp, poate fi folosit pentru a demonstra legea refracției. Fie viteza luminii în două medii și , atunci timpul de mișcare între punctele A și B depinde de alegerea punctului P de la granița dintre medii: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Această funcție va avea un minim atunci când derivata sa este zero [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2)})}}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Aici sinusurile unghiurilor pot fi exprimate în termeni de triunghiuri:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sin \beta

Derivata se reduce la forma

{\frac {\sin \alpha {v_{1}}} - {\frac {\sin \beta {v_{2)}}=0\,,

din care rezultă că

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Această expresie este legea lui Snell [13] .

Formula vectorială

Fie și vectorii de rază ai razelor de lumină incidente și refractate, adică vectorii care indică direcțiile razelor și având lungimi și un vector normal unitar la suprafața refractară în punctul de refracție. Apoi: $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ $\scriptstyle {\vec {n)}$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\dreapta)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Note

↑ Snell este o formă romanizată a numelui de familie original Snell .
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudius Ptolemeu / Resp. ed. A. A. Gurshtein. - M . : Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 p.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Teorii ale luminii de la Descartes la Newton , Cambridge University Press . ( cf. Pavlos Mihas, Utilizarea istoriei în dezvoltarea ideilor de refracție, lentile și curcubeu , p. 5, Universitatea Demokritus, Tracia , Grecia .)
↑ Ptolemeu (cca. 100-cca. 170) . Lumea biografiei științifice a lui Eric Weinstein . Preluat la 28 iulie 2021. Arhivat din original la 27 aprilie 2006. (nedefinit)
↑ Dr. Gorden Videen . A cui lege a refracției? Arhivat 27 iulie 2021 la Wayback Machine , Optics & Photonics News (mai 2008) Arhivat 27 iulie 2021 la Wayback Machine
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). „Cine a descoperit cu adevărat legea lui Snell?”. Lumea Fizicii . 15 (4): 64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Istoria fizicii . - M. - L. : GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
↑ Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. Istoria mondială a fizicii. Din cele mai vechi timpuri până la sfârșitul secolului al XVIII-lea. - Ed. al 3-lea. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 p. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Volumul 3: Radiații. Valuri. Quanta. Traducere din engleză (vol. 4). — Editorial URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optics: un manual pentru universități . - Ed. a VI-a. stereot. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 p. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Legea lui Snell // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 p. - 40.000 de exemplare. - ISBN 5-85270-087-8 .

Link -uri

Elemente ale științei mari: legea lui Snell