Conjugarea izotomiei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2013; verificările necesită 15 modificări .

În planimetrie , conjugarea izotomiei este una dintre transformările planului generate de triunghiul ABC dat pe plan .

Definiție

Să fie dat un triunghi , în care - punctul de mijloc al laturii , - punctul de mijloc și - punctul de mijloc al laturii . Să fie de asemenea ales un punct arbitrar pe planul care nu se află pe liniile care conțin laturile sale. Apoi luați în considerare liniile și . Lasă-le să intersecteze dreptele care conțin laturile opuse ale triunghiului, respectiv, în punctele , și (dacă liniile se dovedesc a fi paralele, punctul de intersecție este considerat a fi punctul de la infinitul dreptei). Conform teoremei lui Ceva , . Dacă acum punctele , și sunt reflectate simetric față de , și respectiv, obținem punctele , și (punctul de la infinit trece în sine). Deoarece , și la fel pentru celelalte perechi de puncte, obținem și, conform aceleiași teoreme Ceva , dreptele , și se intersectează într-un punct . Acest punct se numește punctul conjugat izotomic față de triunghi . $ABC$ $A_0$ $î.Hr$ $B_{0}$ $AC$ $C_{0}$ $AB$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $A_0$ $B_{0}$ $C_{0}$ $A_{2}$ $B_{2}$ $C_{2}$ $AC_1=BC_2$ $AC_2=BC_1$ $1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\ cdot\frac{AB_2}{B_2C}$ $AA_2$ $BB_2$ $CC_{2}$ $P'$ $P$ $ABC$

Conjugarea izotomică stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului cu liniile excluse și . Pe aceste linii, corespondența nu este unu-la-unu, deoarece orice punct al dreptei corespunde unui vârf (și invers, unui vârf - orice punct ) și așa mai departe. $AB$ $î.Hr$ $AC$ $î.Hr$ $A$ $A$ $î.Hr$

Coordonate

Dacă coordonatele baricentrice ale unui punct sunt , atunci coordonatele baricentrice ale punctului conjugat izotomic sunt . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\dreapta)$

Dacă coordonatele triliniare ale unui punct sunt , atunci coordonatele triliniare ale punctului conjugat izotomic cu acesta sunt . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\right)$

Altă definiție

Dacă, în loc de un cevian simetric , luăm un cevian a cărui bază este la fel de departe de mijlocul laturii ca și baza celui original, atunci și astfel de cevian se vor intersecta într-un punct. Transformarea rezultată se numește conjugare izotomică . De asemenea, mapează linii la conice circumscrise . În cadrul transformărilor afine , punctele conjugate izotomic se transformă în puncte conjugate izotomic . Cu conjugarea cu izotomie , elipsa Steiner descrisă va merge la linia de la infinit .

Proprietăți

O conjugare izotomică este o involuție , adică pătratul său este banal.

Punctele fixe (adică trecând în ele însele) ale conjugării izotomice sunt centroidul (alte denumiri: baricentrul sau centrul de masă, adică punctul de intersecție al medianelor) triunghiului și punctele simetrice față de vârfurile triunghi în raport cu punctele medii ale laturilor opuse. $ABC$
Punctele Gergonne și Nagel sunt conjugate izotomic .
Punctul Lemoine (punctul de intersecție al simedianelor) al unui triunghi este conjugat izotomic cu punctul său Brocard .
Punctul de intersecție al bisectoarelor ( incentrul ) este conjugat izotomic cu punctul de intersecție al bisectoarelor ,
Liniile de poziție generală față de un triunghi sub conjugare izotomică intră în conici descrise în jurul acestuia și invers.

Conjugarea izotomiei

Definiție

Coordonate

Altă definiție

Proprietăți

Vezi și

Link -uri