Centrul cercului înscris

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Centrul cercului înscris
Cerc înscris într-un triunghi $ABC$
coordonate baricentrice	$a:b:c$
Coordonate triliniare	1:1:1
cod ECT	X(1)
Puncte conectate
conjugat izogonal	ea este
Suplimentare	Centrul lui Spieker
Anticomplementare	punctul Nagel
Fișiere media la Wikimedia Commons

Centrul cercului înscris al unui triunghi ( incentrul ) este unul dintre punctele remarcabile ale unui triunghi , punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi . Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este uneori numit și incentru .

Este indicat în mod tradițional printr-o literă latină (prin prima literă a cuvântului englez „Incenter”). În Enciclopedia Centrelor Triunghiulare, este listat sub simbolul . $eu$ $X(1)$

Proprietăți

Centrul cercului înscris al unui triunghi este la aceeași distanță de toate laturile triunghiului.

Pentru un triunghi cu laturile , și , vârfuri opuse , și respectiv , incentrul împarte bisectoarea unghiului în raport cu: $\triunghi ABC$ $A$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $A$ $\frac{b+c}{a}$ .

Dacă continuarea bisectoarei unghiului intersectează cercul circumscris în punctul , atunci egalitatea este valabilă: , unde este centrul excercului tangent la latura ; această proprietate a incentrului este cunoscută ca teorema trefoil (de asemenea , lema tridentului , teorema lui Kleiner ). $B$ $\triunghi ABC$ $D$ $DA=DC=DI=DJ$ $J$ $AC$

Distanța dintre incentrul și centrul cercului circumscris este exprimată prin formula lui Euler : $eu$ $O$ $OI^2=R^2-2Rr$ ,

unde și sunt razele cercurilor circumscrise și respectiv înscrise.

R

r

Perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului în punctele de contact ale cercurilor se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [1] .

Incentrul poate fi găsit ca centru de masă al vârfurilor unui triunghi dacă la fiecare vârf este plasată o masă egală cu lungimea laturii opuse (vezi și centrul lui Spieker ).

Incentrul unui triunghi dat este punctul Nagel al triunghiului format din cele 3 mediane ale sale ( punctul de mijloc al triunghiului ). [2]

Lema lui Verrier [3] . Punctele de tangență ale cercurilor Verrier (semicercuri) cu laturile se află pe o linie dreaptă care trece prin centrul cercului înscris ( incentrul ) (vezi figura gri de mai jos).

Teorema lui Rigby . Dacă desenăm o altitudine și un cerc atingând-o pe cealaltă parte de orice parte a unui triunghi în unghi ascuțit , atunci punctul de contact al acestuia din urmă cu această latură, punctul de mijloc al altitudinii menționate și, de asemenea, incentrul se află pe una. linie dreapta. [4] .

- Din teorema lui Rigby rezultă că 3 segmente care leagă punctul de mijloc al fiecăreia dintre cele 3 înălțimi ale unui triunghi cu punctul de contact al unui cerc trasat de aceeași latură cu înălțimea se intersectează la incentru .

A treia teoremă a lui Thebo . Fie un triunghi arbitrar , să fie un punct arbitrar pe latura , să fie centrul unui cerc tangent la segmente și circumscris cercului , să fie centrul cercului tangent la segmente și circumscris cercului. Apoi segmentul trece prin punctul - centrul cercului înscris în , și în același timp , unde . $ABC$ $D$ $î.Hr$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $eu_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $eu_{1}eu_{2}$ $eu$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\unghi BDA$
Un punct slab dintr-un triunghi este unul care poate găsi un geamăn prin conjugarea sa ortogonală în afara triunghiului. De exemplu, incenterul , punctul Nagel și altele sunt puncte slabe , deoarece permit obținerea de puncte similare atunci când sunt împerecheate în afara triunghiului. [5] .

Vezi și

Note

↑ Myakishev A. G. . Elemente de geometrie triunghiulară. - M. : MTSNMO, 2002. - 32 p. - (Biblioteca „Educația matematică”, numărul 19). — ISBN 5-94057-048-8 . - S. 11, p. 5.
↑ Honsberger, R. . Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea. Washington, DC: Matematică. conf. univ. amer. 1995. P. 51, Punctul (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi . - Odesa, 1902. - S. 130. - 334 p.
^ Ross Honsberger , „ 3. An Improbable Colinearity” în „Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry” (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 ), p. 30, Figura 34
↑ Myakishev A. Mergând în cerc: de la Euler la Taylor // Matematică. Totul pentru profesor! nr. 6 (6). Iunie. 2011. p. 11, coloana din dreapta, al doilea paragraf de sus// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf

Literatură

Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 88-90. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex