Punctul Brocard

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 iunie 2020; verificările necesită 6 modificări .

Punctul Brocard
Punctul Brocard al unui triunghi , construit ca punct de intersecție a trei cercuri $P$ $\triunghi ABC$
coordonate baricentrice	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Coordonate triliniare	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
cod ECT	X(76)
Puncte conectate
conjugată izotomic	Punctul Lemoine

Punctul lui Brokar este unul dintre cele două puncte din interiorul unui triunghi care apar la intersecția segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor similare cu acest triunghi și construite pe laturile sale. Sunt considerate puncte remarcabile ale unui triunghi , cu ajutorul lor se construiesc multe obiecte de geometrie triunghiulară (inclusiv cercul Brocard , triunghiul Brocard , cercul Neuberg ).

Numiți după meteorologul și geometrul francez Henri Brocard , care a descris punctele și construcția lor în 1875 , totuși, ele au fost cunoscute și mai devreme, în special, au fost construite într-una dintre lucrările matematicianului și arhitectului german August Crelle , publicată în 1816 .

În Encyclopedia of Triangle Centers , primul punct al lui Brocard este identificat ca . $X(39)$

Definiție

Într-un triunghi cu laturile , , și opus vârfurilor , și respectiv , există un singur punct astfel încât segmentele de dreaptă , și formează același unghi cu laturile , și , respectiv: . Punctul se numește primul punct Brocard al triunghiului , iar unghiul se numește unghiul Brocard al triunghiului. $\triunghi ABC$ $A$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $\omega$ $c$ $A$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $P$ $\triunghi ABC$ $\omega$

Pentru unghiul Brocard , este valabilă următoarea identitate: . Pentru unghiul Brocard , următoarea inegalitate Yiff este valabilă : , unde sunt unghiurile triunghiului necesar [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\unghi BAC+\mathrm {ctg} \,\unghi ABC+\mathrm {ctg} \,\unghi ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$

Triunghiul are și un al doilea punct Brocard , astfel încât segmentele de dreaptă , și formează același unghi cu laturile , și respectiv: . Al doilea punct Brocard este conjugat izogonal cu primul punct Brocard, adică unghiul este egal cu unghiul . $\triunghi ABC$ $Q$ $AQ$ $BQ$ $CQ$ $b$ $c$ $A$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$

Cele două puncte Brocard sunt strâns legate între ele, diferența dintre ele este în ordinea în care unghiurile unui triunghi sunt numerotate, deci, de exemplu, primul punct Brocard al unui triunghi coincide cu al doilea punct Brocard al unui triunghi. . $\triunghi ABC$ $\triunghi ACB$

Clădire

Cea mai faimoasă construcție a punctelor lui Brocard este la intersecția cercurilor construite după cum urmează: pentru că un cerc este trasat prin puncte și atingând latura ( centrul acestui cerc este în punctul care se află la intersecția bisectoarei perpendiculare cu partea cu linia care trece prin și perpendiculară pe ); în mod similar, se construiește un cerc prin puncte și și atingând latura ; al treilea cerc trece prin punctele și și tangent la latura . Aceste trei cercuri au un punct comun de intersecție, care este primul punct Brocard al triunghiului . Al doilea punct Brocard este construit într-un mod similar - se construiesc cercuri: prin și tangente la ; prin și , atingere ; prin și atingând . $\triunghi ABC$ $A$ $B$ $î.Hr$ $AB$ $B$ $î.Hr$ $B$ $C$ $AC$ $A$ $C$ $AB$ $\triunghi ABC$ $A$ $B$ $AC$ $B$ $C$ $AB$ $A$ $C$ $î.Hr$

Proprietăți

Coordonatele triliniare omogene pentru primul și al doilea punct Brocard sunt și, respectiv. Astfel, coordonatele baricentrice ale acestora, respectiv [2] și $c/b:a/c:b/a$ $b/c:c/a:a/b$ $c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$ $a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$

Punctele Brocard se află pe cercul Brocard - un cerc construit diametral pe un segment care leagă centrul cercului circumscris cu punctul Lemoine . Conține, de asemenea, vârfurile primelor două triunghiuri Brocard. Punctele Brocard sunt conjugate izogonal.

Punctul lui Brocard este unul dintre cele 2 puncte din interiorul unui triunghi ale cărui cevieni formează unghiuri egale cu cele trei laturi măsurate la cele trei vârfuri.

Vezi și

Note

↑ Michael Hazewinkel. Enciclopedia de matematică, Suplimentul III . — Springer Science & Business Media, 2001-12-31. - S. 83. - 564 p. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA „Câteva exemple de utilizare a coordonatelor ariale în geometria triunghiului”, Mathematical Gazette 83, noiembrie 1999, 472-477.

Literatură

S. I. Zetel . Noua geometrie a triunghiului. - M . : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. — 96 p.
Akopyan, A.V. & Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics , voi. 26, Mathematical World, Societatea Americană de Matematică , p. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), capitolul 10. Punctele Brocard, episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea , Washington, DC: Asociația matematică a Americii
Prasolov V. V. Punctele Brocard și conjugarea izogonală (Seria „Biblioteca „Educația matematică””). M.: MTSNMO, 2000. 24 p.
Yakovlev IV Materiale de matematică. Conjugarea izogonală. P. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf