Partenerul izogonal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 iunie 2018; verificările necesită 13 modificări .

O conjugare izogonală este o transformare geometrică obținută prin reflectarea dreptelor care leagă punctele de plecare cu vârfurile unui triunghi dat , raportate la bisectoarele unghiurilor triunghiului.

Definiție

Punctele și se numesc conjugate izogonal (numele învechite sunt izogonale, inverse [1] ) într-un triunghi dacă , , . Corectitudinea acestei definiții poate fi dovedită prin teorema lui Ceva sub formă de sinus; există și o dovadă pur geometrică a corectitudinii acestei definiții. O conjugare izogonală este o transformare care asociază un punct cu conjugatul său izogonal. Pe întregul plan, cu excepția liniilor care conțin laturile triunghiului, conjugarea izogonală este o mapare unu-la-unu . $P$ $P^*$ $\triunghi ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Proprietăți

O conjugare izogonală lasă în loc doar centrele înscriselor și ale cercurilor .
Un punct conjugat izogonal cu un punct din cercul circumscris este la infinit . Direcția dată de acest punct este perpendiculară pe linia Simson a punctului original.
Dacă punctele , , sunt simetrice față de un punct față de laturile triunghiului, atunci centrul cercului circumscris triunghiului este conjugat izogonal cu punctul . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Dacă o elipsă este înscrisă într-un triunghi , atunci focarele sale sunt conjugate izogonal .

Proiecțiile a două puncte conjugate izogonal de pe laturi se află pe același cerc (este și inversul) [2] . Centrul acestui cerc este punctul de mijloc al segmentului dintre punctele conjugate . Un caz special este un cerc de nouă puncte .
Aceasta din urmă înseamnă că cercurile subdermale a două puncte conjugate izogonal coincid. În special, subcercul ortocentrului și centrul cercului circumscris este cercul Euler . Poder sau cerc pedalier este cercul circumscris triunghiului subdermic .
Două puncte ale unui triunghi sunt conjugate izogonal dacă și numai dacă produsele celor trei distanțe ale acestora față de cele trei laturi ale triunghiului sunt egale [2] .

Perechi de linii conjugate izogonal

Imaginea unei linii în conjugare izogonală este o conică circumscrisă unui triunghi. În special, linia la infinit și cercul circumscris , linia Euler și hiperbola Enzhabek , axa Brocard și hiperbola Kiepert , linia centrelor cercurilor înscrise și circumscrise și hiperbola Feuerbach sunt conjugate izogonal .
Dacă o conică este conjugată izogonal cu o dreaptă , atunci polarii triliniari ale tuturor punctelor de pe vor trece printr-un punct conjugat izogonal la polul triliniar . $\alfa$ $l$ $\alfa$ $l$
Unele cuburi binecunoscute , cum ar fi cubul Thompson , Darboux cubic, Neuberg cubic, sunt izogonal auto-ajutoare, în sensul că, dacă toate punctele lor din triunghi sunt conjugate izogonal, se obțin din nou cuburi.

Perechi de puncte conjugate izogonal

Centrul cercului circumscris și ortocentrul (vezi figura).
Punctul de intersecție al medianelor și punctul Lemoine (punctul de intersecție al simedianelor).
Punctul Gergonne și centrul homoteției negative a cercurilor înscrise și circumscrise.
Punctul lui Nagel și centrul homoteției pozitive a cercului și cercului circumferitor ( punctul Verrier ).
Două puncte Brocard
Punctul Apollonius și punctul Torricelli .
Centrul cercului înscris ( incentrul ) este conjugat izogonal cu el însuși.

Notarea coordonatelor

În coordonatele baricentrice, conjugarea izogonală se scrie astfel:

(x:y:z)\\mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\dreapta)

unde , , sunt lungimile laturilor triunghiului. În coordonate triliniare, notația sa are forma: $A$ $b$ $c$

(x:y:z)\\mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right )

prin urmare, sunt convenabile atunci când lucrați cu pereche izogonale. În alte coordonate, conjugarea izogonală este mai greoaie.

Variații și generalizări

În mod similar, se poate defini o conjugare izogonală în raport cu un poligon. Focarele elipselor înscrise într-un poligon vor fi, de asemenea, conjugate izogonal. Totuși, punctul conjugat izogonal nu va fi definit pentru toate punctele: de exemplu, într-un patrulater, locul punctelor pentru care este definită conjugarea izogonală este o curbă de ordinul trei; pentru un pentagon, va exista o singură pereche de puncte conjugate izogonal (focale ale singurei elipse înscrise în acesta), iar în poligoane cu un număr mare de vârfuri, în cazul general, nu vor exista puncte conjugate izogonal.

De asemenea, puteți defini o conjugare izogonală într-un tetraedru , în coordonate triliniare va fi scrisă similar unei conjugări izogonale plată [3] .

Strâns legată de conjugarea izogonală este conjugarea antigonală , menționată în articolul Teorema lui Poncelet .

Consecințele

Teorema lui Pascal poate fi dedusă din conjugarea izogonală .

Note

↑ D. Efremov. Noua geometrie a triunghiului. Odesa, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. Ediția a II-a .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, p. 80.
↑ Conjugarea izogonală într-un tetraedru și fețele acestuia (link inaccesibil)