Piramida icosaedrică

Piramida icosaedrică
Diagrama Schlegel : proiecția ( perspectiva ) a unei piramide icosaedrice obișnuite în spațiul tridimensional
Tip de	Piramidă poliedrică
Simbolul Schläfli	( ) ∨ {3,5}
celule	21
chipuri	cincizeci
coaste	42
Vârfurile	13
Politop dublu	piramidă dodecaedrică

O piramidă icosaedrică este un poliedru (policelulă) cu patru dimensiuni : o piramidă poliedrică având ca bază un icosaedru .

Descriere

Limitat la 21 de celule tridimensionale - 20 de tetraedre și 1 icosaedru . Celula icosaedrică este înconjurată de toate cele douăzeci de tetraedrici; fiecare celulă tetraedrică este înconjurată de o celulă icosaedră și trei tetraedrice.

Cele 50 de fețe bidimensionale ale sale sunt triunghiuri . 20 de fețe separă celulele icosaedrice și tetraedrice, restul de 30 sunt două tetraedrice.

Are 42 de coaste. Trei fețe și trei celule (icosaedrice și două tetraedrice) converg pe 30 de muchii, cinci fețe și cinci celule fiecare (numai tetraedrice) pe celelalte 12.

Are 13 vârfuri. La 12 vârfuri, 6 muchii converg, câte 10 fețe fiecare și câte 6 celule (icosaedrice și cinci tetraedrice); 1 vârf are 12 muchii, 30 de fețe și toate cele 20 de celule tetraedrice.

Piramida icosaedrică izoedrică

Dacă toate muchiile unei piramide icosaedrice sunt de lungime egală , atunci fețele sale sunt triunghiuri regulate egale . Hipervolumul cu patru dimensiuni și hiperarea tridimensională a suprafeței unei astfel de piramide sunt exprimate, respectiv, ca $A$

V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\aprox 0{,}1685452a^{4},

S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\aprox 4 {,}5387176a^{3}.

Înălțimea piramidei va fi atunci

H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\aprox 0{,}3090170a,

raza hipersferei descrise (trecând prin toate vârfurile multicelulei) -

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\aprox 1{,}6180340a,

raza hipersferei semi-înscrise exterioare (atingând toate marginile la mijlocul lor) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 1{,}5388418a,

raza hipersferei interioare semi-înscrise (atingând toate fețele în centrele lor) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\aprox 1{,}5115226a ,

raza hipersferei înscrise (atingând toate celulele) -

r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right) -1}{12}}\;a \aprox 0{,}1485399a.

Centrul hipersferei înscrise este situat în interiorul piramidei, centrele hipersferei circumscrise și ambele semiinscrise sunt situate în același punct în afara piramidei.

O astfel de piramidă poate fi obținută luând învelișul convex al oricărui vârf al unei celule de șase sute și toate cele 12 vârfuri adiacente legate de acesta printr-o muchie.

Unghiul dintre două celule tetraedrice adiacente va fi același ca într-o celulă de șase sute. Unghiul dintre o celulă icosaedrică și orice celulă tetraedrică va fi $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\aprox 164{,}48^{\circ },$ $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5}})){4}}\aprox 22{,}24^{\circ }.$

În coordonate

O piramidă icosaedrică izoedră cu o lungime a muchiei poate fi plasată într-un sistem de coordonate carteziene astfel încât vârfurile sale să aibă coordonate $2$

$\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
$\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

unde este raportul secțiunii de aur . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Link -uri

Richard Klitzing. Piramida icosaedrică