Poliedru 4D

Un poliedru cu patru dimensiuni  este un poliedru în spațiu cu patru dimensiuni [1] [2] . Un poliedru este o figură închisă conexă, constând din elemente poliedrice de o dimensiune mai mică - vârfuri , muchii , fețe ( poligoane ) și celule ( poliedre tridimensionale ). Fiecare față aparține exact două celule.

Analogul bidimensional al poliedrelor cu patru dimensiuni este poligonul , iar analogul tridimensional este poliedrul tridimensional .

Din punct de vedere topologic, poliedrele 4D sunt strâns legate de fagurii uniformi , cum ar fi fagurii cubici care teselează spațiul 3D. Într-un mod similar, un cub tridimensional este legat de infiniti faguri pătrați bidimensionali . Poliedrele convexe 4D pot fi tăiate și desfășurate în spațiu 3D .

Definiție

Un poliedru cu patru dimensiuni este o figură cu patru dimensiuni închisă. Este format din vârfuri (puncte de colț), muchii , fețe și celule . O celulă este un analog tridimensional al unei fețe și este un poliedru tridimensional . Fiecare față 2D trebuie să conecteze exact două celule, la fel cum marginile unui poliedru 3D conectează exact două fețe. Ca și alte politopi, elementele unui 4-politop nu pot fi împărțite în două sau mai multe seturi care sunt, de asemenea, 4-politopi, adică nu este compozit.

Cel mai faimos poliedru cu patru dimensiuni este tesseract (hipercubul), un analog cu patru dimensiuni al cubului.

Vizualizare

Poliedrele cu patru dimensiuni nu pot fi reprezentate în spațiul tridimensional din cauza dimensiunii suplimentare. Pentru vizualizare sunt folosite o serie de tehnici.

Proiecțiile ortografice pot fi folosite pentru a arăta diferite simetrii ale unui poliedru 4D. Proiecțiile pot fi reprezentate ca grafice bidimensionale sau pot fi reprezentate ca solide tridimensionale ca învelișuri proiective .

Așa cum formele 3D pot fi proiectate pe o foaie plată, formele 4D pot fi proiectate în spațiul 3D sau chiar pe un plan. Un tip obișnuit de proiecție este diagrama Schlegel , care utilizează o proiecție stereografică a punctelor pe suprafața unei 3-sfere în spațiu tridimensional, conectate în spațiu tridimensional prin muchii drepte, fețe și celule.

La fel cum tăierea unui poliedru dezvăluie o suprafață tăiată, tăierea unui poliedru 4D dezvăluie o „hipersuprafață” în spațiul 3D. Secvența unor astfel de felii poate fi folosită pentru a înțelege întreaga figură. Dimensiunea suplimentară poate fi echivalată cu timpul necesar pentru a anima aceste secțiuni.

Dezvoltarea unui poliedru cu patru dimensiuni constă din celule poliedrice legate prin fețe și situate în spațiu tridimensional, la fel ca fețele poligonale ale dezvoltării unui poliedru tridimensional sunt legate prin muchii și sunt toate situate în acelasi avion.

Caracteristici topologice

Topologia oricărui poliedru 4D dat este determinată de numerele lui Betti și de coeficienții de torsiune [3] .

Valoarea caracteristicii Euler folosită pentru a caracteriza poliedre nu se generalizează în mod corespunzător la dimensiuni mai mari și este zero pentru toate poliedrele cu patru dimensiuni, indiferent de topologia subiacentă. Această inconsecvență în caracteristica Euler pentru a distinge în mod fiabil între diferite topologii în dimensiuni mari duce la apariția unor numere Betti mai rafinate [3] .

În mod similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirea suprafețelor poliedrelor toroidale, ceea ce duce la utilizarea coeficienților de torsiune [3] .

Clasificare

Criterii

Poliedrele cu patru dimensiuni pot fi clasificate după proprietăți precum „ convexitatea ” și „ simetria ” [3] .

• Un 4-politop este convex dacă limitele sale (inclusiv celulele, fețele (3-dimensionale) și marginile) nu se intersectează (în principiu, fețele unui politop pot trece în interiorul învelișului) și segmentele care leagă oricare două puncte ale 4-politopi sunt conținute în întregime în interiorul acestuia.. în caz contrar, poliedrul este considerat neconvex . Poliedrele cu patru dimensiuni cu auto-intersectare sunt cunoscute și sub denumirea de poliedre stelare , prin analogie cu formele în formă de stea ale poliedrelor Kepler-Poinsot neconvexe .
• Un politop cu patru dimensiuni este regulat dacă este tranzitiv în raport cu steagurile sale . Aceasta înseamnă că toate celulele sale sunt poliedre regulate congruente și, de asemenea, toate figurile sale de vârf sunt congruente cu un alt tip de poliedre regulate.
• Un politop cu patru dimensiuni convex este semi-regular dacă are un grup de simetrie astfel încât toate nodurile sunt echivalente ( tranzitive de vârf ) și celulele sunt poliedre regulate . Celulele pot fi de două sau mai multe tipuri, cu condiția să aibă același tip de față. Există doar 3 astfel de figuri găsite de Thorold Gosset în 1900: un cu cinci celule complet trunchiat [en] , un complet trunchiat cu șase sute de celule și un cu nasul snob de douăzeci și patru de celule .
• Un poliedru cu patru dimensiuni este omogen dacă are un grup de simetrie astfel încât toate vârfurile sunt echivalente și celulele sunt poliedre uniforme . Fețele (2-dimensionale) ale unui 4-politop uniform trebuie să fie poligoane regulate .
• Un politop cu patru dimensiuni este un izotop [4] dacă este tranzitiv la vârf și are muchii de aceeași lungime. Adică, celulele neuniforme sunt permise, cum ar fi poliedrele convexe ale lui Johnson .
• Se spune că un politop cu patru dimensiuni obișnuit, care este și convex , este un politop cu patru dimensiuni convex obișnuit .
• Un poliedru cu patru dimensiuni este prismatic dacă este un produs direct al a două sau mai multe poliedre de dimensiuni inferioare. Un poliedru prismatic cu patru dimensiuni este omogen dacă factorii săi din produsul direct sunt omogene. Hipercubul este prismatic (produsul a două pătrate , sau un cub și un segment de linie ), dar este tratat separat deoarece are o simetrie mai mare decât simetriile moștenite de la factori.
• Mozaicul sau fagure în spațiul tridimensional este o descompunere a spațiului euclidian  tridimensional într-o rețea repetată de celule poliedrice. Astfel de plăci sau teselații sunt infinite și nu sunt limitate de un volum „4D”, deci sunt exemple de poliedre 4D infinite. O placare uniformă a spațiului tridimensional  este o placare în care vârfurile sunt congruente și conectate printr-un grup cristalografic , iar celulele sunt poliedre uniforme .

Clasele

Următoarea listă de diferite categorii de poliedre cu patru dimensiuni este clasificată în funcție de criteriile prezentate mai sus:

Poliedru cu patru dimensiuni omogen (vertex-tranzitive).

• 4-poliedre uniforme convexe (64, plus două familii infinite)
  • Cele 47 de politopi uniformi, convexe, neprismatice includ:
    • 6 poliedre cu patru dimensiuni regulate .
  • Poliedre uniforme prismatice :
    • {} × {p, q} : 18 prisme poliedrice (inclusiv hiperprisme cubice, hipercuburi regulate );
    • Prisme construite pe antiprisme (familie infinită);
    • {p} × {q} : Duoprisme (familie infinită).
• Poliedre cu patru dimensiuni omogene neconvexe (10 + necunoscut):
  • 10 (regulate) politopi Schläfli-Hess ;
  • 57 de hiperprisme construite pe poliedre uniforme neconvexe ;
  • Număr necunoscut de poliedre bidimensionale omogene neconvexe - Norman Johnson și alți co-autori au găsit 1849 de poliedre (convexe și stelate); toate sunt construite pe figuri de vârf folosind programul Stella4D [5] .

Alte poliedre 4D convexe:

• Piramidă poliedrică ;
• Prismă poliedrică .

Poliedre omogene infinite cu 4 dimensiuni în spațiul euclidian tridimensional (teselații omogene cu celule omogene convexe):

• 28 de faguri convexi uniformi (placuri convexe uniforme), inclusiv:
  • 1 gresie obișnuită, fagure cubic : {4,3,4}.

Poliedre omogene infinite cu patru dimensiuni ale spațiului tridimensional hiperbolic (teselații omogene cu celule omogene convexe):

• 76 Faguri Wythoff convexi uniformi în spațiu hiperbolic inclusiv:
  • 4 piese regulate ale unui spațiu 3D hiperbolic compact : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Poliedre duale omogene cu patru dimensiuni ( cell-tranzitive ):

• 41 poliedre unice duale omogene cu patru dimensiuni;
• 17 prisme poliedrice duale omogene unice;
• o familie infinită de duoprisme omogene duale convexe (cu celule tetraedrice neregulate);
• 27 de celule omogene duale unice, inclusiv:
  • Fagure dodecaedral rombic ;
  • Faguri izoedri tetraedrici .

Alte:

• Structura Weir-Phelan fagurilor periodice de umplere a spațiului cu celule neregulate.

Poliedre cu patru dimensiuni regulate abstracte :

• Celula unsprezece ;
• Cincizeci și șapte de celule .

Aceste categorii includ doar poliedre cu patru dimensiuni cu un grad ridicat de simetrie. Pot exista multe alte poliedre cu patru dimensiuni, dar nu au fost studiate la fel de intens ca cele enumerate mai sus.

Vezi și

• Poliedru regulat cu patru dimensiuni
• 3-sfera este o altă figură larg discutată situată în spațiul cu patru dimensiuni. Dar nu este un poliedru cu patru dimensiuni, deoarece nu se limitează la celulele poliedrice.
• Un duocilindru este o figură în spațiu cu patru dimensiuni asociată cu duoprisme , deși nu este, de asemenea, un poliedru.

Note

1. ↑ Vialar, 2009 , p. 674.
2. ↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010 , p. 598.
3. ↑ 1 2 3 4 Richeson, D.; Bijuteria lui Euler: Formula poliedrului și nașterea topopologiei , Princeton, 2008.
4. ↑ În engleză, se folosește cuvântul scaliform , format din două cuvinte - scară (un cuvânt polisemantic, aici - dimensiune, scară) și uniform (omogen). Nume sugerat de Jonathan Bowers
5. ↑ Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 de cazuri în 2005

Literatură

• T. Vialar. Dinamica neliniară complexă și haotică: progrese în economie și finanțe. - Springer, 2009. - P. 674. - ISBN 978-3-540-85977-2 .
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Aplicații ale matematicii în modele, rețele neuronale artificiale și arte. - Springer, 2010. - P. 598. - ISBN 978-90-481-8580-1 . - doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 .
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter . Politopi obișnuiți . - al 3-lea (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Hârtie 22) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semiregulari I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Hârtie 23) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semi-regulari II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Hârtie 24) HSM Coxeter, Politopii obișnuiți și semi-regulari III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway , MJT Guy. Proceedings of the Colocvium on Convexity at Copenhaga. - 1965. - S. 38-39.
• Norman Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. — Ph.D. Disertație. - Universitatea din Toronto, 1966.
• Politopii arhimedieni cu patru dimensiuni (germană), Marco Möller, teză de doctorat 2004 [1]

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Polychoron  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Formulă poliedică  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler features  (engleză) la Wolfram MathWorld . * George
• Pagina cu figuri cu patru dimensiuni
• George Olshevsky Polychoron on Glosar for Hyperspace
• Uniform Polychora , Jonathan Bowers
• Uniform Polychoron Viewer — Applet Java3D cu surse
• Dr. R. Klitzing, polychora