Rădăcina pătrată a unei matrice

Rădăcina pătrată a unei matrice este o extensie a conceptului de rădăcină pătrată numerică la un inel de matrici pătrate .

Definiție

O matrice se numește rădăcină pătrată a unei matrice dacă pătratul, adică produsul matricei este același cu matricea $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {B}),$ $\mathbf {BB} ,$ $\mathbf {A} .$

Existenta si unicitatea

Nu toate matricele au rădăcină pătrată. De exemplu, matricea nu are rădăcină . Această matrice este, de asemenea, un divizor zero și o rădăcină pătrată a lui zero. Astfel, într-un inel de matrice, zero are infinit de rădăcini pătrate. $\left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right), a\neq 0$

În acele cazuri în care rădăcina există, aceasta nu este întotdeauna determinată în mod unic. De exemplu, o matrice are patru rădăcini: și . $\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$

Matricea de identitate are următoarele 6 rădăcini între matrici formate din și : $\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)$ $0$ $-unu$ $+1$

\left({\begin{matrice}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrice}}\right),\quad \left({\begin{matrice}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matrice}}\right),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrice}}\right);

precum și un număr infinit de rădăcini pătrate raționale simetrice de forma:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrice}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}- s&r\\r&s\end{matrice}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrice}}\ dreapta),

unde este un triplu pitagoreic arbitrar , adică un triplu de numere naturale pentru care . $(r,s,t)$ $r^2+s^2=t^2$

Complexitatea extragerii unei rădăcini dintr-o matrice se datorează faptului că inelul matricei este necomutativ și are divizori zero, adică nu este un domeniu de integritate . În domeniul integrității, de exemplu, în inelul de polinoame peste câmpul , fiecare element are cel mult două rădăcini pătrate.

Matrici definite pozitive

O matrice definită pozitivă are întotdeauna exact o rădăcină definită pozitivă , care se numește rădăcină pătrată aritmetică [1] .

Una peste alta, o matrice de ordine pozitiv-definită cu diferite valori proprii are rădăcini. Extinderea unei astfel de matrice în termeni de vectori proprii, obținem reprezentarea acesteia sub forma în care este o matrice diagonală cu valori proprii . Atunci rădăcinile pătrate ale matricei au forma unde este o matrice diagonală cu intrări pe diagonală. $A$ $n$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\mathbf {D}$ $\lambda _{i}>0$ $A$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2)}}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Literatură

Gantmakher F. R. . Teoria matricelor. Moscova: GITTL, 1953, p. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Enciclopedia algebrei liniare. Sistem electronic LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.

Note

↑ Valentin Vasilievici Voevodin, Iuri Alekseevici Kuznețov. Matrici și calcul . — „Știință”, capitolul. ed. Literatura de Fizica si Matematica, 1984. - S. 88-89. — 330 s.