Matricea diagonală

Matricea diagonală este o matrice pătrată , ale cărei toate elementele, aflate în afara diagonalei principale , sunt egale cu zero:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmatrix}}

O matrice diagonală cu intrări pe diagonala principală se notează cu . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\dots ,d_{{n}})$ $\mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\)$

Este atât triunghiular superior, cât și triunghiular inferior . Matricea diagonală este simetrică: . Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul de elemente diferite de zero situate pe diagonala principală. $D^{\intercal}=D$

Matricele diagonale pot fi adăugate și multiplicate termen cu termen:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots, a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{ n}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots, a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$ .

Determinantul unei matrici diagonale este egal cu produsul elementelor diagonale: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\dots d_{{nn}}$

Complementul algebric al elementului off-diagonal al unei matrici diagonale este zero, adică:

D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases }}

Matricea inversă pentru o matrice diagonală este:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}

Diagonalele sunt matrice zero , matrice identitate , matrice scalară (toate elementele diagonalei principale sunt egale).

În unele cazuri, o matrice în afara diagonalei poate fi redusă la o formă diagonală prin schimbarea bazei ; o condiție suficientă este diferența tuturor valorilor proprii ale matricei (în cazul general, matricea este redusă numai la forma Jordan ).

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte