Funcție cvasi-convexă
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de
versiunea revizuită la 19 martie 2017; verificările necesită
3 modificări .
O funcție cvasi-convexă este o generalizare a conceptului de funcție convexă , care și-a găsit o aplicație largă în optimizarea neliniară , în special, atunci când se aplică optimizarea în economie .
Definiție
Fie X o submulțime convexă a . O funcție se numește cvasi-convexă sau unimodală dacă următoarea inegalitate este valabilă pentru elementele arbitrare și :
Dacă, de asemenea:
pentru și atunci se spune că funcția este strict cvasi-convexă .
O funcție se numește cvasi- concavă (strict cvasi-concavă) dacă este cvasi-convexă (strict cvasi-convexă).
În mod similar, o funcție este cvasi-concava dacă
şi strict cvasi-concav dacă
O funcție care este atât cvasi-convexă, cât și cvasi-concavă se numește cvasi -liniară .
Exemple
- O funcție convexă arbitrară este cvasi-convexă, o funcție concavă arbitrară este cvasi-concavă.
- Funcția este cvasiliniară pe mulțimea numerelor reale pozitive .
- Funcția este cvasi-concavă pe mulțime (mulțimea perechilor de numere nenegative), dar nu este nici convexă, nici concavă.
- Funcția este cvasi-convexă și nu este nici convexă, nici continuă .
Proprietăți
- Funcția , unde este o mulțime convexă , este cvasi-convexă dacă și numai dacă pentru toată mulțimea
convex
Dovada. Fie mulțimea convexă pentru orice β. Fixăm două puncte arbitrare și luăm în considerare punctul Puncte la . Deoarece mulțimea este convexă, atunci , și, prin urmare, adică inegalitatea dată în definiție este satisfăcută, iar funcția este cvasi-convexă.
Fie funcția f cvasi-convexă. Pentru unii fixăm puncte arbitrare Apoi . Deoarece X este o mulțime convexă, atunci pentru orice punct . Din definiția cvasi-convexității rezultă că , adică . Otzhe, este o mulțime convexă.
- O funcție continuă , unde X este o mulțime convexă în , este cvasi-convexă dacă și numai dacă una dintre următoarele condiții este îndeplinită:
- f este nedescrescătoare;
- f - necrescător;
- există un punct astfel încât pentru toate funcția f este necrescătoare, iar pentru toate funcția f este nedescrescătoare.
Funcții cvasi-convexe diferențiabile
pentru toată lumea .
- Fie f o funcție de două ori diferențiabilă. Dacă f este cvasi-convex pe X, atunci următoarea condiție este îndeplinită:
pentru toată lumea .
- Condițiile necesare și suficiente pentru cvasi-convexitate și cvasi-concavitate pot fi date și în ceea ce privește așa-numita matrice hessiană mărginită . Pentru funcție definim determinanții pentru :
Atunci afirmațiile sunt adevărate:
- Dacă funcția f este cvasi-convexă pe o mulțime X , atunci D n (x) ≤ 0 pentru tot n și toți x din X .
- Dacă funcția f este cvasi-concavă pe mulțimea X , atunci D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 pentru tot x cu X .
- Dacă D n (x) ≤ 0 pentru tot n și toți x cu X , atunci funcția f este cvasi-convexă pe mulțimea X .
- Dacă D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 pentru tot x cu X , funcția f este cvasi-concavă pe mulțimea X .
Operații care păstrează cvasi-convexitatea
- Maximul de funcții cvasi-convexe ponderate cu ponderi nenegative, i.e.
Unde
- o compoziție cu funcție nedescrescătoare (dacă este cvasi-convexă, este nedescrescătoare, atunci este cvasi-convexă).
- minimizarea (dacă f(x, y) este cvasi-convex, C este o mulțime convexă, atunci este cvasi-convexă).
Link -uri
Literatură
- Alpha C Chiang, Metode fundamentale ale economiei matematice, ediția a treia, McGraw Hill Book Company, 1984.