Număr congruent

Un număr congruent  este un număr natural egal cu aria unui triunghi dreptunghic cu laturile ale căror lungimi sunt exprimate prin numere raționale [1] . O definiție mai generală include toate numerele raționale pozitive cu această proprietate [2] .

Numerele congruente formează o succesiune

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (secvență A003273 în OEIS )
Tabel de numere congruente: n ≤ 120 [3]
—: număr
necongruent K: nepătrat Număr congruent
Q: număr congruent cu factor pătrat
n unu 2 3 patru 5 6 7 opt
— — — — K K K —
n 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16
— — — — K K K —
n 17 optsprezece 19 douăzeci 21 22 23 24
— — — Q K K K Q
n 25 26 27 28 29 treizeci 31 32
— — — Q K K K —
n 33 34 35 36 37 38 39 40
— K — — K K K —
n 41 42 43 44 45 46 47 48
K — — — Q K K —
n 49 cincizeci 51 52 53 54 55 56
— — — Q K Q K Q
n 57 58 59 60 61 62 63 64
— — — Q K K Q —
n 65 66 67 68 69 70 71 72
K — — — K K K —
n 73 74 75 76 77 78 79 80
— — — — K K K Q
n 81 82 83 84 85 86 87 88
— — — Q K K K Q
n 89 90 91 92 93 94 95 96
— — — Q K K K Q
n 97 98 99 100 101 102 103 104
— — — — K K K —
n 105 106 107 108 109 110 111 112
— — — — K K K Q
n 113 114 115 116 117 118 119 120
— — — Q Q K K Q

De exemplu, 5 este un număr congruent deoarece este aria unui triunghi cu laturile 20/3, 3/2 și 41/6. În același mod, numărul 6 este congruent deoarece este aria unui triunghi cu laturile 3,4 și 5. 3 nu este congruent.

Dacă q este un număr congruent, atunci s 2 q este, de asemenea, congruent pentru un număr s (doar înmulțiți fiecare latură a triunghiului cu s ), și inversul este adevărat. Acest lucru conduce la observația că dacă un număr rațional diferit de zero q este un număr congruent depinde numai de setul său din grup

.

Orice grupă din acest grup conține exact un număr nepătrat , deci atunci când vorbim de numere congruente, înseamnă doar numere întregi pozitive nepătrat.

Problema numerelor congruente

Aria unui triunghi dreptunghic în termeni de catete este exprimată după cum urmează:

Cerința pentru un triunghi dreptunghiular este exprimată după cum urmează:


unde a , b sunt catetele triunghiului, c este ipotenuza acestuia . Problema de a determina dacă un număr natural S este congruent se rezumă la găsirea unei soluții raționale a acestui sistem de ecuații.


Problema de a determina dacă un întreg dat este congruent se numește problema numerelor congruente . Sarcina (până în 2012) nu a fost încă rezolvată. Teorema lui Tunnel oferă un test simplu pentru a determina dacă un număr este congruent, dar acest rezultat se bazează pe conjectura Birch-Swinnerton-Dyer , care nu a fost dovedită.

Teorema triunghiului dreptunghic a lui Fermat , numită după Pierre Fermat , afirmă că niciun număr pătrat nu poate fi congruent. Totuși, sub forma unei afirmații că orice diferență (pas) între termenii succesivi ai unei progresii aritmetice de pătrate nu este un pătrat perfect, acest fapt era deja cunoscut (fără dovezi) de către Fibonacci [4] . Orice astfel de pas de progresie este un număr congruent, iar orice număr congruent este produsul dintre pasul de progresie și pătratul unui număr rațional [5] . Cu toate acestea, a determina dacă un număr este o etapă a unei progresii de pătrate este o sarcină mult mai simplă, deoarece există o formulă parametrică în care este necesar să se verifice doar un număr finit de valori ale parametrilor [6] .

Legătura cu curbe eliptice

Întrebarea dacă un număr dat este congruent se dovedește a fi echivalentă cu condiția ca o curbă eliptică să aibă rang pozitiv [2] . O abordare alternativă a ideii este prezentată mai jos (și poate fi găsită în introducerea în lucrarea Tunnel).

Să presupunem că a , b și c  sunt numere (nu neapărat pozitive sau raționale) care îndeplinesc următoarele condiții:

Fie x = n ( a + c )/ b și y = 2 n 2 ( a + c )/ b 2 . obține

iar y nu este egal cu 0 (dacă y = 0, atunci a = - c , deci b = 0, dar (1/2) ab = n nu este egal cu zero, o contradicție).

În schimb, dacă x și y sunt numere care satisfac ecuațiile de mai sus și y nu este egal cu 0, puneți a = ( x 2  - n 2 )/ y , b = 2 nx / y și c = ( x 2 + n 2 ) / y . Calculele arată că aceste trei numere satisfac cele două ecuații de mai sus.

Corespondența dintre ( a , b , c ) și ( x , y ) este reversibilă, deci avem o corespondență unu-la-unu între soluțiile acestor două ecuații pentru a , b și c și soluțiile pentru x și y , unde y nu este zero. În special, din formulele pentru a , b și c rezultă că, dat un n rațional , numerele a , b și c sunt raționale dacă și numai dacă x și y corespunzătoare sunt raționale și invers. (De asemenea, obținem că a , b și c sunt pozitive dacă și numai dacă x și y sunt pozitive. Din ecuația y 2 = x 3  - xn 2 = x ( x 2  - n 2 ) rețineți că dacă x și y sunt pozitive , atunci x 2  - n 2 trebuie să fie pozitiv, deci formula de mai sus pentru a va da un număr pozitiv.)

Astfel, un număr rațional pozitiv n este congruent dacă și numai dacă y 2 = x 3  - n 2 x are un punct rațional cu y inegal cu zero . Se poate arăta (ca o consecință elegantă a teoremei lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică) că numai punctele de torsiune ale acestei curbe eliptice au y egal cu 0, ceea ce presupune că existența punctelor raționale cu y diferit de zero este echivalentă cu a spune că curba eliptică are rang pozitiv.

Starea actuală

Multe lucrări sunt dedicate clasificării numerelor congruente.

De exemplu, se știe [7] că pentru un număr prim p este valabil:

Se știe de asemenea [8] că în fiecare dintre clasele de reziduuri 5, 6, 7 (mod 8) și orice k dat , există infinit de multe numere congruente fără zero cu k factori primi.

Vezi și

Note

  1. ↑ Mathworld .
  2. ↑ 12 Neal Koblitz . Introducere în curbele eliptice și forme modulare . - New York: Springer-Verlag , 1993. - P.  3 . - ISBN 0-387-97966-2 .
  3. ↑ Secvența OEIS A003273 _
  4. ↑ Øystein Ore. Teoria numerelor și istoria ei. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
  5. ↑ Keith Conrad. Problema numerelor congruente // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , numărul. 2 . - S. 58-73 .
  6. ↑ David Darling. Cartea universală a matematicii: de la Abracadabra la paradoxurile lui Zenon. - John Wiley & Sons, 2004. - P. 77. - ISBN 9780471667001 .
  7. ↑ Paul Monsky. Mock Heegner Points and Congruent Numbers  // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , nr. 1 . - S. 45-67 . - doi : 10.1007/BF02570859 .
  8. ↑ Ye Tian. Numere congruente și puncte Heegner. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Literatură

Link -uri