Varietate simplectică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

O varietate simplectică este o varietate cu o formă simplectică definită pe ea , adică o formă diferențială 2 nedegenerată închisă .

Cel mai important exemplu de varietate simplectică este mănunchiul cotangent . Structura simplectică permite introducerea mecanicii hamiltoniene într-un mod geometric natural și oferă o interpretare vizuală a multor proprietăți ale acesteia: dacă este spațiul de configurare al unui sistem mecanic, atunci este spațiul de fază corespunzător acestuia . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Definiție

O formă diferențială 2 se numește structură simplectică dacă este nedegenerată și închisă , adică derivata sa externă este egală cu zero, $\omega$

d\omega =0,

iar pentru orice vector tangent diferit de zero există un vector astfel încât $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

O varietate cu o formă simplectică dată pe ea se numește varietate simplectică . $M$

Note

Din definiție rezultă că o varietate simplectică are o dimensiune uniformă.
Dacă dimensiunea este , atunci nedegenerarea formei este echivalentă cu condiția . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Definiții înrudite

Un difeomorfism de varietati simplectice se numește simplectomorfism dacă păstrează structura simplectică. $f\colon M\la N$

Fie o funcție netedă arbitrară pe o varietate simplectică. Forma simplectică asociază funcția cu un câmp vectorial definit de următoarea identitate: $H\colon M\la \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Această definiție este analogă cu definiția unui gradient și uneori este numită gradient simplectic al funcției . $V_{H}$ $H$
- Un câmp care poate fi obținut în acest mod se numește hamiltonian . $V_{H}$
- Deoarece forma este nedegenerată, câmpul vectorial este definit în mod unic. În coordonatele Darboux, această hartă ia forma $\omega$ $V_{H}$
${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

corespunzând ecuațiilor lui Hamilton și se numește hamiltonian (funcția Hamilton).

H

Parantezele Poisson transformă setul de Hamiltonieni într- o algebră Lie și sunt definite de regulă $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Proprietăți

Teorema lui Darboux : Toate varietatile simplectice sunt local simplectomorfe. Astfel, într-o vecinătate a oricărui punct al varietății, se pot alege coordonate, numite coordonate Darboux , în care forma simplectică are forma $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

În acest caz, în spațiul tangent al fiecărui punct din vecinătatea luată în considerare, se alege baza Darboux .

Fluxul de fază hamiltonian păstrează structura simplectică (urmează din formula Cartan): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Aici este derivata Lie în raport cu câmpul vectorial . Astfel, fluxul de fază hamiltonian este un simplectomorfism.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

În special, deoarece forma volumului este pe , obținem teorema Liouville privind conservarea volumului fazei : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Structura contactului

Fiecare varietate simplectic -dimensională este asociată canonic cu o varietate de contact dimensională , numită contactizare . În schimb, pentru orice varietate de contact -dimensională există o simplificare a acesteia care este o varietate -dimensională. $2n$ $(2n+1)$ $(2n+1)$ $(2n+2)$

Variații și generalizări

O varietate se numește multisimplectic de grad dacă este dată pe ea o formă k diferențială nedegenerată închisă . $k$

Vezi și

Spațiul simplectic

Link -uri

D. V. Anosov . „Despre dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice”. Geometrie simplică.
Cursul 5: Paranteze Poisson, forme diferențiale și polivectori 2013

Literatură

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Geometrie simplectică. a 2-a ed. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Curs de fizică matematică şi teoretică. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 p.
Fomenko A. T. Geometrie simplectică. Metode și aplicații. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1988. - 414p.