Curba Osgood

În matematică , o curbă Osgood este o curbă care nu se intersectează (curba Jordan sau arc) cu zonă pozitivă [2] . Mai formal, ele sunt curbe în planul euclidian cu măsură Lebesgue bidimensională pozitivă .

Povești

Primele exemple de astfel de curbe au fost găsite de William Fogh Osgood [3] și Lebesgue [4] . Ambele exemple au zonă pozitivă în unele părți ale curbei, dar zonă zero în alte părți. Acest neajuns a fost corectat de Knopp [5] , care a găsit o curbă cu o zonă pozitivă lângă fiecare dintre punctele sale, pe baza construcțiilor anterioare ale lui Vaclav Sierpinski . Exemplul lui Knopp are avantajul suplimentar că, atunci când este construită, aria poate fi orice fracțiune din aria carcasei convexe [6] .

Construcție fractală

Deși majoritatea curbelor de umplere a spațiului nu sunt curbe Osgood (au zonă pozitivă, dar adesea se intersectează de un număr infinit de ori, ceea ce încalcă definiția unei curbe Jordan), este posibil să se modifice construcția recursivă a curbelor de umplere a spațiului sau curbe fractale pentru a obține o curbă Osgood [7] .

Inițial, Osgood, în publicația sa din 1903, a considerat o curbă care umple un pătrat [8] . Această linie întreruptă a primit numele lui [1] . Mai târziu, acest nume a fost generalizat la alte figuri. De exemplu, construcția lui Knopp folosește împărțirea recursivă a triunghiurilor în perechi de triunghiuri mai mici care împărtășesc un vârf comun prin eliminarea pene. Dacă penele care trebuie îndepărtate la fiecare nivel al construcției constituie o parte neschimbătoare (fracțională) a ariei triunghiurilor, rezultatul este un fractal Cesaro similar cu curba Koch , dar când sunt îndepărtate pene, ale căror zone scad mai repede, obținem curba Osgood [6] .

Construcție Denjoy-Ries

O altă modalitate de a construi o curbă Osgood este de a folosi o versiune bidimensională a setului Smith-Volterra-Cantor , un set complet deconectat de puncte cu o zonă diferită de zero, la care este teorema Denjoy-Ries aplicat , conform căruia orice submulțime mărginită și complet deconectată a planului este o submulțime curbă Jordan [9] .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Slyusar, V. Antene fractale. Un tip fundamental nou de antene „rupte”. Partea 2. . Electronică: știință, tehnologie, afaceri. - 2007. - Nr. 6. S. 86 - 87. (2007). Consultat la 27 aprilie 2020. Arhivat din original pe 3 aprilie 2018.
  2. ↑ Rado (1948) .
  3. ↑ Osgood, 1903 .
  4. ↑ Lebesgue, 1903 .
  5. ↑ Knopp, 1917 .
  6. ↑ 12 Knopp , 1917 ; Sagan, 1994 , secțiunea 8.3, curbele Osgood Sierpinski și Knopp, pp. 136–140 Arhivat 29 mai 2016 la Wayback Machine .
  7. ↑ Knopp, 1917 ; Lance, Thomas, 1991 ; Sagan 1993 ).
  8. ↑ William F. Osgood . A Jordan Curve of Positive Area // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1903. - T. 4 . — S. 107–112 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 . — .
  9. ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999 .

Literatură

Link -uri