Bitangenții unei curbe plane de gradul al patrulea

O curbă plană de gradul al patrulea a unei forme generale are 28 de bitangenți , adică linii drepte care ating curba în două puncte. Aceste drepte există în planul proiectiv complex , dar este posibil să găsim curbe pentru care toate cele 28 de drepte au numere reale ca coordonate și, prin urmare, aparțin planului euclidian .

Curbele explicite de ordinul al patrulea cu douăzeci și opt de bitangenți reali au fost găsite pentru prima dată de Julius Plücker [1] [2] . După cum a arătat Plücker, numărul de bitangenți reali ai oricărei curbe de ordinul al patrulea trebuie să fie egal cu 28, 16 sau mai mic de 9. O altă curbă de ordinul al patrulea cu 28 de bitangenți reali poate fi formată ca loc al punctelor centrelor elipselor cu lungimi de axe fixe tangente la două drepte neparalele [3 ] . Shioda [4] a dat o altă construcție de curbe de ordinul al patrulea cu douăzeci și opt de bitangenți, care este formată prin proiecția suprafeței cubice . Douăzeci și șapte de bitangenți ai curbei Shioda sunt reali, iar a douăzeci și opta este linia de la infinit în planul proiectiv.

Exemplu

Curba Trotta , o altă curbă cu 28 de bitangenți reali, este mulțimea de puncte ( x , y ) care satisfac ecuația quartică

Aceste puncte formează o curbă nesingulară de ordinul al patrulea, având genul trei și douăzeci și opt de bitangenți reali [5] .

La fel ca exemplul lui Plücker și curba Blum și Guinand, curba Trott are patru ovale separate (neregulate), numărul maxim pentru curbele quartice și, prin urmare, este o curbă M. Cele patru ovale pot fi grupate în șase perechi diferite de ovale. Pentru fiecare pereche de ovale există patru bitangenți care ating ambele ovale din pereche, două linii separă ovalele și două nu. În plus, fiecare oval delimitează o regiune neconvexă a planului și are o bitangentă care leagă porțiunile neconvexe ale limitei.

Relațiile cu alte structuri

Curba duală a curbei (primare) de ordinul al patrulea are 28 de puncte duble obișnuite reale duale la 28 de bitangenți ai curbei primare.

28 de curbe bitangente de ordinul al patrulea pot fi asociate cu simboluri ale formei

unde a , b , c , d , e și f sunt egale cu zero sau unu și pentru ei

[6] [7] .

Există 64 de mulțimi a , b , c , d , e și f , dar numai 28 dintre ele dau o sumă impară. Se pot interpreta a , b și c ca coordonatele omogene ale unui punct din planul Fano și d , e și f ca coordonatele unei linii în același plan proiectiv finit. Condiția sumei impare este echivalentă cu cerința ca punctul să nu se afle pe o dreaptă și există 28 de perechi diferite de astfel de puncte și linii.

Punctele și liniile drepte ale planului Fano care formează perechi neincidente formează un triunghi, iar curbele tangente de ordinul al patrulea pot fi considerate ca fiind corespunzătoare celor 28 de triunghiuri ale planului Fano [8] . Graficul Levi al planului Fano este graficul Heawood , în care triunghiurile planului Fano sunt reprezentate prin 6 cicluri. Cele 28 de 6 cicluri ale grafului Heawood, la rândul lor, corespund celor 28 de vârfuri ale grafului Coxeter [9] .

Cele 28 de curbe de feliere de ordinul al patrulea corespund, de asemenea, la 56 de perechi de linii ale suprafeței del Pezzo de gradul 2 [8] și 28 de caracteristici teta impare .

27 de curbe drepte de ordinul al treilea și 28 de curbe tangente de ordinul al patrulea, împreună cu 120 de plane tangente ale curbei canonice de ordinul al șaselea a genului 4, formează „trinitatea” lui Arnold , mai precis, formează corespondența McKay [10] [11] [12] și pot fi legate de multe alte obiecte, inclusiv E 7 și E 8 , așa cum se discută în articolul ADE-clasificare .

Note

  1. ↑ Plücker, 1839 .
  2. ↑ Gray, 1982 .
  3. ↑ Blum, Guinand, 1964 .
  4. ↑ Shioda, 1995 .
  5. ↑ Trott, 1997 .
  6. ↑ Riemann, 1876 .
  7. ↑ Cayley, 1879 .
  8. ↑ 12 Manivel , 2006 .
  9. ↑ Dayter, 2011 .
  10. ↑ le Bruyn, 2008 .
  11. ↑ Arnold, 1997 , p. 13.
  12. ↑ McKay, Sebbar, 2007 , p. unsprezece.

Literatură