Clasificarea ADE

$ADE$ -clasificare - o listă completă de diagrame Dynkin cu un singur fir - diagrame în care nu există muchii multiple , care corespunde rădăcinilor simple din sistemul radicular care formează unghiuri (fără muchie între vârfuri) sau (o singură muchie între vârfuri). Lista constă din: $\pi/2$ $2\pi /3$

{\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8))

Lista conține două dintre cele patru familii de diagrame Dynkin (și nu sunt incluse ) și trei dintre cele cinci diagrame Dynkin excepționale ( și nu sunt incluse ). $B_{n}$ $C_{n}$ $F_{4}$ $G_{2}$

Lista nu este redundantă dacă este luată pentru . Dacă extindem familiile, obținem izomorfisme excepționale $n\geqslant 4$ $D_{n}$

D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},

iar izomorfismele corespunzătoare ale obiectelor în curs de clasificare.

Problema creării unui început comun al unei astfel de clasificări (mai degrabă decât identificarea empiric a paralelelor) a fost pusă de Arnold în raportul „Problems of Modern Mathematics” [1] .

Clasele , , includ, de asemenea, grupuri Coxeter finite cu un singur fir cu aceleași diagrame — în acest caz, diagramele Dynkin sunt exact aceleași cu diagramele Coxeter, deoarece nu există muchii multiple. $A$ $D$ $E$

Lie algebre

În ceea ce privește algebrele Lie semisimple complexe :

$Un}$ corespunde unei algebre Lie liniare speciale a operatorilor cu urmă zero , ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C}),$
$D_{n}$ corespunde unei algebre Lie ortogonale chiar speciale a operatorilor simetrici oblic ${\mathfrak {deci}}_{2n}(\mathbf {C}),$
${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8))$ sunt trei dintre cele cinci algebre Lie excepționale.

În ceea ce privește algebrele compacte Lie și grupurile corespunzătoare de Lie cu un șir :

$Un}$ corespunde algebrei grupului unitar special ; ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ $SU(n+1)$
$D_{n}$ corespunde algebrei unui grup ortogonal proiectiv par , ${\mathfrak {deci}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ $PSO(2n)$
${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8))$ sunt trei dintre cele cinci excepționale algebre Lie compacte .

Grupuri poliedrice binare

Aceeași clasificare se aplică subgrupurilor discrete , grupul poliedric binar . În esență, grupurile poliedrice binare corespund diagramelor Dynkin afine cu un șir , iar atribuirile acestor grupuri pot fi înțelese în termenii acestor diagrame. Această relație este cunoscută sub numele de corespondență McKay (după John McKay ). Legătura cu poliedre regulate este descrisă în Teorii algebrice ale lui Dixon [2] . Corespondența folosește construcția graficelor McKay . $SU(2)$ ${\tilde {A}}_{n}, {\tilde {D}}_{n}, {\tilde {E}}_{k}$

În plus, corespondența - nu este o corespondență a politopilor obișnuiți cu grupurile lor de reflexie . De exemplu, în corespondență , tetraedrul , cubul / octaedrul și dodecaedrul / icosaedrul corespund cu , în timp ce grupurile de reflexie ale tetraedrului, cubului și octaedrului, dodecaedrului și icosaedrului sunt atribuții ale lui Coxeter și $ADE$ $ADE$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8))$ $A_{3},BC_{3}$ $H_{3}.$

Un orbifold construit cu toate subgrupurile discrete duce la o singularitate de tip la origine, care se numește singularitatea Du Val . $\mathbf {C} ^{2}$ $ADE$

Corespondența McKay poate fi extinsă și la diagramele Dynkin cu mai multe linii prin utilizarea unei perechi de grupuri poliedrice binare. Această corespondență este cunoscută sub denumirea de corespondență Slodovy (după matematicianul german Peter Slodovy ) [3] .

Grafice etichetate

$ADE$ -graficele și graficele extinse (afine) pot fi descrise în termeni de marcare a unor proprietăți [4] , care pot fi formulate în termeni de operatori Laplace discreti [5] sau matrice Cartan . Dovezi în ceea ce privește matricele Cartan pot fi găsite în cartea lui Katz „Infinite dimensional Lie algebras” [6] . $ADE$

Graficele afine sunt grafice etichetate pozitiv (când vârfurile sunt etichetate cu numere reale pozitive ) cu următoarele proprietăți: $ADE$

Orice etichetă este o jumătate de sumă a vârfurilor adiacente.

Adică, există funcții care iau numai valori pozitive cu o valoare proprie de 1 a Laplacianului discret (suma vârfurilor adiacente minus valoarea de la vârf) - o soluție pozitivă a ecuației omogene:

\Delta \phi =\phi

În mod echivalent, funcțiile pozitive din nucleu . Enumerarea rezultată este unică până la un factor constant și cu o normalizare în care numărul minim este 1, constă din numere întregi mici - de la 1 la 6, care depind de grafic. $\Delta -I$

Graficele obișnuite sunt numai grafice etichetate pozitiv cu următoarele proprietăți: $ADE$

Orice etichetă este egală cu jumătate din suma vârfurilor adiacente plus unu.

În ceea ce privește laplacienii, aceasta este o soluție pozitivă a ecuației omogene:

\Delta \phi =\phi -2

Numerotarea rezultată este unică (până la un factor constant, a cărui valoare este determinată de numărul „2”) și constă din numere întregi. Pentru aceste numere variază de la 58 la 270 [7] . $E_8$

Alte clasificări

Catastrofele elementare sunt de asemenea clasificate folosind -clasificare. $ADE$

Diagramele sunt exact tolbe de tip finit datorită teoremei lui Gabriel . $ADE$

Există și o legătură cu patrulatere generalizate , deoarece trei patrulatere generalizate nedegenerate cu trei puncte pe fiecare linie corespund rădăcinilor excepționale ale sistemelor și = [ 8] . Clasele și corespund cazurilor degenerate în care mulțimea de linii este goală sau toate liniile trec printr-un punct, respectiv [9] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $A$ $D$

Există o legătură profundă între aceste entități în spatele acestei clasificări, iar unele dintre aceste conexiuni pot fi înțelese prin teoria corzilor și mecanica cuantică .[ specificați ] .

Trinity

Arnold a propus multe alte conexiuni sub titlul „trinități matematice” [10] [11] iar McKay a extins aceste corespondențe. Arnold a folosit termenul „ trinitate ” cu o aluzie la religie și a sugerat că (în prezent) aceste paralele sunt mai aproape de credință decât de dovezi stricte, deși unele paralele sunt bine dezvoltate. În plus, trinitatea a fost preluată de alți autori [12] [13] [14] . Trinitățile lui Arnold încep cu (numere reale, numere complexe și cuaternioni ), pe care el le-a remarcat „toată lumea știe”, și continuă cu alte trinități, cum ar fi „completarea” și „cuaternizarea” obiectelor matematice clasice (reale), într-un mod similar cu caută analogii simplectice cu geometria riemanniană pe care le propusese înainte de aceasta în anii 1970. În afară de exemplele din topologia diferențială (cum ar fi clasele caracteristice ), Arnold consideră că cele trei simetrii ale poliedrelor regulate (tetraedrice, octaedrice, icosaedrice) corespund numerelor reale, numerelor complexe și cuaternionilor, care sunt legate de corespondențe algebrice ulterioare ale lui McKay. $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$

Cel mai simplu mod de a descrie corespondența McKay . În primul rând, diagramele Dynkin extinse (corespunzând simetriilor tetraedrice, octaedrice și icosaedrice) au grupuri de simetrie și, respectiv, convoluții asociate - diagrame (cu notație mai puțin precisă, semnul extensiei - tilde - este adesea omis). Mai semnificativ, McKay a sugerat o corespondență între vârfurile diagramelor și unele clase de monstru , care este cunoscută sub numele de observația lui McKay despre [15] [16] . McKay atribuie în continuare nodurile claselor în (extinderea ordinului 2 al grupului Baby Monster ) și vârfurilor claselor în (extensia ordinului 3 al grupului lui Fisher ) [16] . Acestea sunt cele mai mari trei grupuri sporadice , cu ordinea de expansiune corespunzând simetriilor diagramei. ${\tilde {E}}_{6}, {\tilde {E}}_{7}, {\tilde {E}}_{8}$ ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1))$ ${\tilde {G}}_{2}, {\tilde {F}}_{4}, {\tilde {E}}_{8}$ ${\tilde {E}}_{8}$ $E_8$ ${\tilde {E}}_{7}$ $2.B$ ${\tilde {E}}_{6}$ $3.Fi_{24}'$

Dacă trecem de la grupuri mari simple la cele mici, grupurile corespunzătoare politopilor regulați și au legătură cu grupurile speciale proiective , și (de ordinul 60, 168 și 660) [17] [13] . Aceste grupuri sunt singurele grupuri (simple) cu o valoare astfel încât să acționeze non-trivial asupra punctelor , fapt care se întoarce la opera lui Évariste Galois din anii 1830. De fapt, grupurile se descompun într-un produs de mulțimi (dar nu un produs de grupuri) după cum urmează: și Aceste grupuri sunt, de asemenea, legate de diverse geometrii (începând cu lucrările lui Felix Klein în anii 1870) [18] . Geometriile asociate (placuri pe suprafețele Riemann ) în care se poate vedea acțiunea asupra punctelor sunt următoarele: este grupul de simetrie al icosaedrului (genul 0) pe un compus de cinci tetraedre ca o mulțime de 5 elemente, este grupul de simetrie al quartica Klein (genul 3) pe planul Fano încorporat ca un set de 7 elemente (plan dublu de ordinul 2) și este grupul de simetrie al suprafeței Buckminsterfullerene (genul 70) pe planul dublu Paley încorporat ca o mulțime de 11 elemente ( plan dublu de ordinul 3) [19] . Dintre acestea, icosaedre sunt cunoscute încă din antichitate, cuarticele Klein au fost introduse de Klein în anii 1870, iar suprafețele buckyball au fost introduse de Pablo Martin și Seegerman în 2008. ${\displaystyle A_{4},S_{4))$ $A_{5}$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$ $p$ $PSL(2,p)$ $p$ $A_{4}\time Z_{5},$ $S_{4}\time Z_{7}$ $A_{5}\time Z_{11}.$ $p$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$

McKay mai conectează , și respectiv cu 27 de linii pe o suprafață cubică , 28 de tangente duble ale unui quartic și 120 de plane triple tangente ale unei curbe canonice de ordinul șase cu genul 4 [20] [21] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$

Vezi și

Suprafață eliptică

Notă

↑ Arnold, 1976 .
^ Dickson, 1959 .
↑ Stekolshchik, 2008 .
↑ Proctor, 1993 , p. 937–941.
↑ Proctor, 1993 , p. 940.
↑ Kac, 1990 , p. 47–54.
↑ Bourbaki, 1972 .
↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , p. 305-327.
↑ Chris, Royle, 2001 .
↑ Vladimir Arnold, 1997, Toronto Lectures, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities Arhivat 9 decembrie 2015 la Wayback Machine , iunie 1997 (ultima actualizare august 1998). TeX Arhivat 24 septembrie 2015 la Wayback Machine , PostScript Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine , PDF Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Polimatematică: este matematica o singură știință sau un set de arte? Arhivat 9 decembrie 2015 la Wayback Machine pe server 10/03/99, Rezumat Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine , TeX Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine , PostScript Arhivat 24 septembrie 2015 la Wayback Machine , PDF Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine ; vezi tabelul de la pagina 8
↑ Les trinités remarquables Arhivat la 23 aprilie 2015 la Wayback Machine , Frédéric Chapoton Arhivat la 10 martie 2015 la Wayback Machine (fr.)
↑ 12 le Bruyn , 2008 .
↑ le Bruyn, 2008-2 .
↑ Duncan, 2009 .
↑ 12 le Bruyn , 2009 .
↑ Kostant, 1995 , p. 959–968.
↑ Kostant, 1995 .
↑ Martin, Singerman, 17.04.2008 .
↑ Arnold 1997, p. 13
↑ McKay, Sebbar, 2007 , p. 373–386.

Literatură

N. Bourbaki. Grupuri de minciuni și algebre. - Moscova: „Mir”, 1972. - (Elemente de matematică).
Vladimir Arnold. Evoluţii matematice care decurg din problemele Hilbert / Felix E. Browder . - Societatea Americană de Matematică , 1976. - V. 28. - (Proceedings of symposias in pure mathematics). (Problema VIII. Clasificările ADE ).
Leonard E. Dickson. XIII: Grupuri de Solide Regulare; Ecuații quintice // Teorii algebrice. — New York: Dover Publications, 1959.
PJ Cameron, JM Goethals, JJ Seidel, EE Shult. Grafice cu linii, sisteme radiculare și geometrie eliptică // Journal of Algebra. - 1976. - Emisiune. 43 .
Pablo Martin, David Singerman. De la biplanuri la Klein quartic și Buckyball. - 17.04.2008.
John F. Duncan. Grupuri și simetrii: de la scoțienii neolitici la John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. - Providence, Rhode Island: Societatea Americană de Matematică, 2009. - V. 47. - (CRM Proceedings & lecture notes). - ISBN 978-08218-4481-6 .
Bertram Costant. Graficul icosaedrului trunchiat și ultima literă a lui Galois. — observă Amer. Matematică. Soc.. - 1995. - Vol. 42. Vezi The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois's Letter to Chevalier.
Lieven le Bruyn. Ultima scrisoare a lui Galois. - 2008. Arhivat la 15 august 2010.
Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. Ubicuitatea diagramelor Coxeter Dynkin. (O introducere a problemei ADE) // Nieuw Archief v. Wiskunde. - 1977. - T. 35 , nr. 3 . — S. 257–307 .
John McKay. Grafice, singularități și grupuri finite // Proc. Symp. Matematică pură.. - Amer. Matematică. Soc., 1980. - T. 37 . - S. 183-,265- .
John McKay. Vena geometrică, Coxeter Festschrift. - Berlin, 1982. - S. 549– .
Victor G. Kac. Algebre de minciună infinit-dimensională. — al 3-lea. - Cambridge: Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-46693-8 .
John McKay. O introducere rapidă în teoria ADE. - 01/01/2001.
RA Proctor. Două clasificări amuzante cu diagrame Dynkin // The American Mathematical Monthly . - 1993. - T. 100 , nr. 10 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2324217 . — .
J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiere în teoria numerelor, fizică și geometrie, II. - Springer, 2007. - doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 .
R. Stekolshchik. Note despre transformările Coxeter și corespondența McKay. - 2008. - (Monografii Springer în matematică). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Godsil Chris, Gordon Royle. Teoria algebrică a graficelor. - New York: Springer, 2001. - Vol. 207. - (Texte de absolvire în matematică). - ISBN 0-387-95241-1 . Capitolul 12
Lieven le Bruyn. trinitățile lui Arnold. - 2008-2.
Lieven le Bruyn. Arnold's trinities versiunea 2.0. - 2008-3.
Lieven le Bruyn. graficul monstru și observația lui McKay. - 2009. Arhivat la 14 august 2010.
Joris van Hoboken. Solide platonice, grupuri poliedrice binare, singularități kleiniene și algebre Lie de tip A,D,E. - 2002. Arhivat la 26 aprilie 2012.

Link -uri

John Baez , This Week's Finds in Mathematical Physics Arhivat 7 mai 2015 la Wayback Machine : Săptămâna 62 Arhivat 30 decembrie 2015 la Wayback Machine , Săptămâna 63 Arhivat 26 decembrie 2015 la Wayback Machine , Săptămâna 64 Arhivat 27 decembrie 2015 la Wayback Machine , Săptămâna 65 Arhivată 3 martie 2016 la Wayback Machine , 28 august 1995 până la 3 octombrie 1995 și Săptămâna 230 Arhivată 14 noiembrie 2015 la Wayback Machine , 4 mai 2006
Corespondența McKay Arhivată pe 4 martie 2016 la Wayback Machine , Tony Smith