Teorema curbei lui Harnack

Teorema curbei lui Harnack , numită după Axel Harnack , oferă numărul posibil de componente conectate pe care le poate avea o curbă algebrică în ceea ce privește gradul curbei. Pentru orice curbă algebrică de gradul m pe planul proiectiv real , numărul componentelor c este mărginit de expresia

Numărul maxim de componente este mai mare cu unu decât genul maxim al curbei de ordinul m, ceea ce se realizează în cazul unei nesingularități a curbei. Mai mult, poate fi atins orice număr de componente în acest interval de valori posibile.

O curbă cu un număr maxim de componente reale se numește curbă M (de la „maximum”). De exemplu, o curbă eliptică cu două componente, cum ar fi sau o curbă Trott , o cuartică cu patru componente, sunt exemple de curbe M.

Această teoremă formează fundalul celei de-a șaisprezecea probleme a lui Hilbert .

Cercetările moderne arată că curbele Harnack sunt curbe a căror amibă are o zonă egală cu poligonul Newton al polinomului P, care se numește curba caracteristică a modelelor dimeri, iar orice curbă Harnack este o curbă spectrală a unui model de dimer [1] ] [2] .

Note

1. ↑ Mikhalkin, 2001 .
2. ↑ Kenyon, Okounkov, Sheffield, 2006 .

Literatură

• Gudkov D.A. Topologia varietăților algebrice proiective reale  // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1974. - T. 29 , nr. 4 . — p. 3–79 .
• Harnack CGA Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven . — Matematică. Ann. - 1876. - T. 10. - S. 189-199.
• A șaisprezecea problemă a lui Wilson G. Hilbert  // Topologie. - 1978. - T. 17 . — S. 53–74 .
• Richard Kenyon, Andrei Okounkov, Scott Sheffield. Dimeri și amibe  // Analele matematicii . - 2006. - T. 163 , nr. 3 . — S. 1019–1056 . doi : 10.4007 / anals.2006.163.1019 .
• Grigory Mikhalkin. Amebe ale soiurilor algebrice . — 2001.

Traducere din engleză a articolului „Teorema curbei lui Harnack”