Criteriul Eisenstein

Criteriul Eisenstein este un criteriu de ireductibilitate a unui polinom , numit după matematicianul german Ferdinand Eisenstein . În ciuda numelui (tradițional), este tocmai un semn, adică o condiție suficientă - dar deloc necesară, așa cum s-ar putea presupune, pe baza semnificației matematice a cuvântului " criteriu " (vezi mai jos).

Formulare

Fie un polinom peste inelul factorial R ( ), iar pentru un prim , sunt îndeplinite următoarele condiții: $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ $n>0$ $p$

$p\nmid a_{n}$ (adică nu este divizibil cu ), $un$ $p$
$p\mid a_{i}$ pentru orice i de la 0 la n-1,
$p^{2}\nmid a_{0}$ .

Atunci polinomul este ireductibil peste F , câmpul fracțiilor inelului R . $topor)$

Acest criteriu este aplicat cel mai adesea când R este inelul numerelor întregi și F este câmpul numerelor raționale . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Dovada

Să presupunem opusul: , unde și sunt polinoame peste F de grade diferite de zero. Din lema Gauss rezultă că ele pot fi considerate ca polinoame peste R. Avem: $a(x)=f(x)g(x)$ $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

Prin presupunerea , și R este factorial, deci oricare sau , dar nu ambele, deoarece . Lasă și . Toți coeficienții nu pot fi divizibili cu , deoarece altfel ar fi adevărat pentru . Fie indicele minim pentru care nu este divizibil cu . Asta implică: $p\mid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\mid c_{0}$ $p^{2}\nmid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $f(x)$ $p$ $topor)$ $i$ $b_{i}$ $p$

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{{i-1}}c_{1}+...$

Din moment ce și pentru toți atunci , dar acest lucru este imposibil, deoarece prin condiție și . Teorema a fost demonstrată. $p\mid a_{i}$ $p\mid b_{j}$ $j<i$ $p\mid b_{i}c_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $p\nmid b_{i}$

Exemple

Polinomul este ireductibil peste $x^{3}+2$ ${\mathbb Q}.$
Polinomul diviziunii cercurilor este ireductibil. Într-adevăr, dacă este reductibil, atunci polinomul este și reductibil și, din moment ce toți coeficienții săi, cu excepția primului, sunt binomi, adică sunt divizibili cu , deoarece , iar ultimul coeficient nu este, de asemenea, divizibil după criteriul lui Eisenstein. , este ireductibil, contrar presupunerii . $f(x)=x^{{p-1}}+x^{{p-2}}+...+1$ $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{{p-1}}+C_{p}^{ 1}x^{{p-2}}+...C_{p}^{{p-1}}$ $p$ $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!)}$ $C_{p}^{{p-1}}=p$ $p^{2},$
Polinomul peste este un exemplu care arată că criteriul lui Eisenstein ( "există un p astfel încât ...; atunci polinomul este ireductibil" ) este doar o condiție suficientă, dar nu necesară. Într-adevăr, singurul divizor prim al termenului liber este , dar 4 este divizibil cu — deci criteriul Eisenstein nu este aplicabil aici. Pe de altă parte, ca polinom de gradul 3 fără rădăcini raționale, acest polinom este ireductibil. $x^{3}+4$ $\mathbb {Q}$ $p=2$ $2^{2}$