Lema pe al șaselea cerc

A șasea lemă cercului [1] afirmă următoarele.

Într-un patrulater înscris în (primul) cerc , prin patru perechi de vârfuri și , și , și , și desenați un cerc (încă patru cercuri) în așa fel încât punctele intersecției lor perechi să se afle în interiorul primului cerc. Apoi întindeți-vă pe un (al șaselea) cerc $ABCD$ $A$ $B$ $B$ $C$ $C$ $D$ $D$ $A$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ .

Figura din dreapta de mai jos va corespunde ultimei afirmații a teoremei, dacă este notat cu . $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$

Notă

Teorema de mai sus este numită și teorema lui Miquel în șase cercuri, fără referire la un patrulater specific (a se vedea figura de mai jos). Fie 4 puncte, „A”, „B”, „C” și „D”, și 4 cercuri se intersectează în perechi în aceste puncte, precum și în alte 4 puncte W , X , Y și Z . Apoi ultimele 4 puncte se află pe un cerc comun. Această teoremă este cunoscută ca „teorema celor șase cercuri”’ [2] (vezi figura).

Consecințele

$ABCD$ este un patrulater înscris. este baza perpendicularei coborâte de la vârf la diagonală ; punctele sunt definite în mod similar . Apoi punctele se află pe același cerc. Dovada rezultă din a șasea lema cercului. $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
$ABCD$ este un patrulater înscris. este centrul cercului înscris al triunghiului BCD; punctele sunt definite în mod similar . Atunci este un dreptunghi. Dovada rezultă din a șasea lema cercului. Acest corolar este uneori denumit teorema japoneză (vezi fig.). $A_{1}$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Fie cercul înscris într-un triunghi arbitrar tangent la latura în punctul , iar excercul tangent la latura în punctul . Apoi punctele se află pe același cerc. Dovada rezultă din a șasea lema cercului. $ABC$ $AC$ $X$ $AC$ $Y$ $A_{1},Y,C_{1},X$
Într-un triunghi , bazele perpendicularelor au căzut pe bisectoarea unghiului de la vârfuri și, respectiv; - înălțimea, - mijlocul lateral . Apoi punctele și se află pe același cerc. Mai mult, centrul cercului care trece prin puncte se află pe cercul de nouă puncte al triunghiului ABC. Dovada rezultă din a șasea lema cercului. $ABC$ $A_{1},C_{1}$ $B$ $A$ $C$ $BB_{1}$ $D_{1}$ $AC$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ $D_{1}$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Istorie

Această teoremă este uneori numită teorema celor patru cercuri și este atribuită lui Jakob Steiner, deși singura dovadă publicată cunoscută a fost dată de Miquel [3] .

Wells se referă la această teoremă ca „teorema lui Miquel” [4]

Posibile variații și generalizări

În mod interesant, o generalizare suplimentară a acestei teoreme la Lema pe al șaptelea cerc este imposibilă. Acest lucru este indicat de următorul contraexemplu sub forma unei figuri din dreapta, luată din secțiunea punctului Miquel (vezi paragraful „ Teorema lui Miquel pentru un pentagon (pentru o stea cu cinci colțuri) ”). Acest lucru este indicat de următoarea afirmație evidentă:

„Dacă 5 cercuri (sunt negre în figură) au 5 puncte ale intersecției lor perechi M, N, P, R, Q , situate pe un cerc (albastru) (6 cercuri în total), atunci din aceasta, în general În caz contrar, deloc rezultă că alte 5 puncte (nemenționate mai sus) ale intersecției lor perechi A, B, C, D, E se vor afla și ele pe același cerc (pe al 7-lea cerc))." În figură, acest lucru este destul de evident, deoarece pentagonul ABCDE nu este în mod clar înscris în cerc (al 7-lea la rând).

Vezi și

Note

↑ În jurul problemei lui Arhimede. Lema 4 Arhivată 29 aprilie 2016 la Wayback Machine , fig. 10, p. 5
↑ Un profesor de liceu în mediul rural francez (Nantua) conform Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
↑ Un profesor de liceu în mediul rural francez (Nantua) conform Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152

Literatură

Coxeter, HSM & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , voi. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometrie , Londra: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometria după istoria sa , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (ed. a 5-a), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6