Cercul de nouă puncte

Cercul de nouă puncte este cercul care trece prin mijlocul tuturor celor trei laturi ale triunghiului .

Se mai numește și cercul Euler , cercul Feuerbach , cercul în șase puncte , cercul Terkem , cercul în n puncte , cercul semicircumscris .

Teorema definiției

Cercul de nouă puncte și-a primit numele datorită următoarei teoreme:

Bazele celor trei înălțimi ale unui triunghi arbitrar, punctele de mijloc ale celor trei laturi ale sale și punctele de mijloc ale celor trei segmente care leagă vârfurile sale de ortocentrul se află toate pe același cerc.

Cu alte cuvinte, cercul de nouă puncte este cercul circumscris pentru următoarele trei triunghiuri:

ortotriunghi ,
triunghiul mijlociu ,
Triunghiul Euler (sau triunghiul Feuerbach , triunghiul Euler-Feuerbach ) este un triunghi ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii a trei segmente care leagă ortocentrul și vârfurile.

Demonstrarea teoremei

În articolul The Trident Leemma, o dovadă a existenței cercului Euler este dată folosind această lemă.

Proprietăți

Centrul cercului de nouă puncte se află pe linia lui Euler , exact în mijlocul segmentului dintre ortocentrul și centrul cercului circumscris .
Din cele nouă puncte de pe cercul Euler, trei sunt punctele mijlocii ale segmentelor de dreaptă care leagă vârfurile de ortocentrul (vârfurile triunghiului Euler-Feuerbach ). Aceste trei puncte sunt reflexiile punctelor mijlocii ale laturilor triunghiului în jurul centrului cercului de nouă puncte .
Astfel, centrul celor nouă puncte servește ca centru de simetrie , translatarea triunghiului din mijloc în triunghiul Euler-Feuerbach (și invers) [1]
Diametrul unui cerc de nouă puncte este egal cu raza cercului circumscris .
Cercul circumscris este imaginea cercului de nouă puncte în raport cu homotezia cu centrul la ortocentru și coeficientul 2.

Ultima proprietate a homoteticității (asemănarea) înseamnă că un cerc de nouă puncte traversează orice segment care leagă ortocentrul cu un punct arbitrar situat pe cercul circumscris .
Teorema lui Feuerbach . Cercul de nouă puncte ale unui triunghi arbitrar atinge cercul și toate cele trei cercuri ale acestui triunghi. [2]
Teorema lui Mavlo . [3] : un triunghi pe circumferința sa de nouă puncte taie trei arce în exterior cu cele trei laturi, astfel încât lungimea celui mai mare dintre ele să fie egală cu suma lungimilor celor două arce rămase. De exemplu, în figura de mai sus, teorema lui Mavlo dă egalitatea: arc IF = arc HE + arc GD.
Într-o formă simetrică, teorema lui Mavlo poate fi scrisă ca: $\smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.$

Acest lucru este echivalent cu faptul că cel mai mare dintre cele trei arce este egal cu suma celorlalte două.

Ultima proprietate este analogă cu proprietățile pentru distanțe și de la vârfurile unui triunghi suplimentar (un triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor acestui triunghi). până la punctul Feuerbach , nu pentru arcuri. O relație similară apare și în teorema lui Pompei . $X$ $y$ $z$
Teorema lui Hamilton . Trei segmente de linie care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi unghiular ascuțit îl împart în trei triunghiuri având același cerc Euler (cerc de nouă puncte) ca și triunghiul unghiular acut original. Punctul Feuerbach este considerat a fi punctul marcat cu aldine pe cercul cel mai apropiat de vârful A.

Există exact trei puncte pe cercul circumferitor al triunghiului, astfel încât linia lor Simson este tangentă la cercul Euler al triunghiului , iar aceste puncte formează un triunghi regulat . Laturile acestui triunghi sunt paralele cu laturile triunghiului lui Morley . $ABC$ $ABC$
Dacă hiperbola descrisă în apropierea triunghiului trece prin punctul de intersecție al înălțimilor, atunci este isoscelă (adică asimptotele ei sunt perpendiculare) [4] . Punctul de intersecție al asimptotelor unei hiperbole echilaterale se află pe cercul de nouă puncte [4] . Această hiperbola se numește hiperbola Kiepert , iar centrul ei este desemnat în Enciclopedia Centrelor Triunghiulare ca X(115).
Dacă linia ℓ a ortopolului trece prin centrul cercului circumscris triunghiului , atunci ortopolul însuși se află pe cercul Euler al acestui triunghi. [5]
Dacă linia ℓ a ortopolului P trece prin ortocentrul Q al triunghiului, atunci punctul situat pe continuarea segmentului PQ care leagă ortopolul cu ortocentrul, de cealaltă parte la o distanță egală cu PQ , se află pe Euler. cerc (pe un cerc de 9 puncte) al acestui triunghi. [6]

Dacă ABCD este un patrulater înscris într-un cerc. EFG este triunghiul diagonal pentru patrulaterul ABCD . Atunci punctul de intersecție T al bimedianelor patrulaterului ABCD se află pe cercul de nouă puncte al triunghiului EFG .

S -a arătat în [7] că punctul de intersecție al bimedianelor unui patrulater înscris într-un cerc aparține cercului Euler al triunghiului cu un vârf în punctul de intersecție al diagonalelor patrulaterului și cu alte două vârfuri la intersecție. punctele prelungirilor perechilor sale de laturi opuse.

Pentru un cerc de nouă puncte, care, printre altele, este numit și „cercul lui Terkem”, Terkem a demonstrat teorema lui Terkem . [8] Ea afirmă că, dacă un cerc de nouă puncte intersectează laturile unui triunghi sau prelungirile acestora în 3 perechi de puncte (în 3 baze respectiv de înălțimi și mediane) care sunt bazele a 3 perechi de cevian, atunci dacă 3 cevians pentru 3 dintre aceste baze se intersectează în 1 punct (de exemplu, 3 mediane se intersectează la 1 punct), apoi 3 cevie pentru alte 3 baze se intersectează și ele în 1 punct (adică trebuie să se intersecteze și 3 înălțimi în 1 punct).

Cazuri de aranjare reciprocă a cercului de nouă puncte și a cercului circumscris

Într-un triunghi, în raport cu cercul circumscris , cercul de nouă puncte (sau cercul Euler ) poate fi situat după cum urmează:

Atinge cercul circumscris în singurul caz în care triunghiul este dreptunghic . În acest caz, tangența a două cercuri merge la vârful unghiului drept al triunghiului.
Se află în întregime în interiorul cercului circumscris dacă triunghiul are un unghi ascuțit .
Intersectează cercul circumscris în două puncte diferite dacă triunghiul este obtuz .

Istorie

Euler în 1765 a demonstrat că bazele înălțimilor și punctele mijlocii ale laturilor se află pe același cerc (de unde și numele de „cerc de șase puncte”). Prima dovadă completă a rezultatului general a fost publicată se pare de Karl Feuerbach în 1822 (împreună cu teorema care îi poartă numele), dar există indicii că era cunoscută mai devreme [2] .

Variații și generalizări

Patru cercuri de nouă puncte de triunghiuri în interiorul unui patrulater . Există o teoremă binecunoscută: într-un patrulater convex arbitrar , cercurile a nouă puncte de triunghiuri în care două diagonale îl împart se intersectează într-un punct $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$ - în punctul Poncelet . [9]
Există o teoremă binecunoscută: dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un patrulater convex, atunci opt puncte se află pe un cerc ( cercul de opt puncte al patrulaterului ): punctele mijlocii ale laturilor și proiecțiile punctelor mijlocii ale laturilor. pe laturile opuse [10] .

Cercul în nouă puncte este un caz special al conicii în nouă puncte . Dacă punctul P este ortocentrul triunghiului ABC , atunci conica în nouă puncte a patrulaterului complet PABC devine cercul în nouă puncte .

16 cercuri Feuerbach atinse de un cerc de 9 puncte. Figura din dreapta arată cu verde cele 16 cercuri Feuerbach cunoscute care ating cercul cu 9 puncte arătat în roșu (triunghiul însuși este afișat cu negru)

Vezi și (articole care menționează cercul de nouă puncte )

Note

↑ Dekov. Centru în nouă puncte// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf (link indisponibil)
↑ 1 2 Tony Crilly. Idei matematice pe care chiar trebuie să le cunoști . — Presa fantomă. — 209 p. — ISBN 9785864716700 . Arhivat pe 18 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ D. P., Mavlo (2004), Beautiful properties of remarkable bodies, Mathematics in Schools (Ucraina) (nr. nr. 3): 265–269
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, completată .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ The Orthopole (21 ianuarie 2017). Preluat la 22 iunie 2020. Arhivat din original la 22 iunie 2020. (nedefinit)
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. (Paragraf: G. Ortopolul. Itemul. 699. Teorema. Fig. 156. P.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Fraivert, 2019 .
↑ Dmitri Efremov . New Triangle Geometry Arhivat 25 februarie 2020 la Wayback Machine . - Odesa, 1902. - S. 16.
↑ Matematică în sarcini. Culegere de materiale de la școlile de teren ale echipei de la Moscova pentru Olimpiada de Matematică All-Russian / Editat de A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov și A. V. Shapovalov. c. 118, sarcina 9
↑ Matematică în sarcini. Culegere de materiale de la școlile de teren ale echipei de la Moscova pentru Olimpiada de Matematică All-Russian / Editat de A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov și A. V. Shapovalov. c. 118, sarcina 11

Literatură

Sharygin I ., Yagubyants A. Cercul în nouă puncte și linia lui Euler // Kvant. - 1981. - Nr 8 . - S. 34-37 . (Rusă)
Dm. Efremov. Noua geometrie a triunghiului 1902
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren German.
Mavlo D.P. Proprietăți frumoase ale corpurilor remarcabile//Matematică la școală. nr. 3, 2004. p. 265-269.
Dekov. Centru în nouă puncte // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
Fraivert David . Puncte noi care aparțin cercului de nouă puncte // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , Nr. 557 . - S. 222-232 .

Link -uri

Planul viu