Teorema cercului înscris

Teorema cercului înscris își are originea în sangaku japoneză și se referă la următoarea construcție: se trasează o serie de raze de la un punct la o dreaptă dată , astfel încât cercurile înscrise în triunghiurile rezultate formate din raze adiacente și linia să fie aceleași. În ilustrație, aceleași cercuri albastre definesc unghiul dintre raze, așa cum este descris mai sus.

Enunțul teoremei

Teorema afirmă că odată cu construcția descrisă mai sus sunt egale și cercurile înscrise în triunghiuri formate din raze printr-una (adică obținute prin unirea a două triunghiuri adiacente), prin două etc. Cazul triunghiurilor învecinate este prezentat în figură cu cercuri verzi: toate au aceleași dimensiuni.

Din faptul că afirmația teoremei nu depinde de unghiul dintre raza inițială și linia dreaptă dată, se poate concluziona că teorema se referă mai mult la calcul decât la geometrie și ar trebui să fie legată de o funcție de scară continuă care determină distanța dintre raze. De fapt, această funcție este sinusul hiperbolic .

Lema

Teorema este o consecință directă a următoarei leme .

Să presupunem că raza a n- a are un unghi față de normala pentru linia de bază. Dacă sunt parametrizate conform egalității , atunci valorile , unde și sunt constante reale , definesc o succesiune de raze care îndeplinesc condițiile cercului (vezi mai sus) și, în plus, orice succesiune de raze care îndeplinește aceste condiții poate fi obținută printr-un alegerea adecvată a parametrilor și . $\gamma_n$ $\gamma_n$ $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n)$ $\theta _{n}=a+nb$ $A$ $b$ $A$ $b$

Dovada lemei

În figură, liniile PS și PT sunt raze adiacente având unghiuri și cu linia PR perpendiculară pe linia de bază RT. $\gamma_n$ $\gamma _{n+1}$

Desenați o linie QY paralelă cu linia de bază prin centrul O al cercului înscris în triunghiul PST. Acest cerc este tangent la razele în punctele W și Z. Segmentul PQ are lungimea , iar segmentul QR are lungimea , care este egală cu raza cercului înscris. $\triunghi$ $hr$ $r$

Atunci OWX este similar cu PQX, OZY este similar cu PQY și de la XY = XO + OY obținem $\triunghi$ $\triunghi$ $\triunghi$ $\triunghi$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ sec\gamma _{n+1}).

Acest raport pe mulțimea unghiurilor exprimă condiția de egalitate a cercurilor înscrise. $\{\gamma _{m}\}$

Pentru a demonstra lema, setăm . Această expresie poate fi convertită în . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Folosind egalitatea , aplicăm reguli suplimentare pentru și și verificăm dacă relația de egalitate a cercurilor este satisfăcută de expresia $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ $\mathrm {sh} \,$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Am obținut o expresie pentru parametru în termeni de mărimi geometrice și . În plus, prin definirea , obținem o expresie pentru razele cercurilor înscrise formate prin alegerea fiecărei raze N ca laturi ale triunghiului: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Vezi și

Literatură

Tabov J. O notă despre teorema celor cinci cercuri // Revista de matematică. - 1989. - T. 63. - Nr. 2. - S. 92-94.