Ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți

O ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți este o ecuație diferențială obișnuită de forma:

\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)

Unde

$y=y(t)$ este funcția dorită,
$y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ - derivata sa -i , $k$
$a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n)$ - numere fixe,
$f(t)$ este o funcție dată (când , avem o ecuație liniară omogenă, în caz contrar, o ecuație liniară neomogenă). $f(t)\equiv 0$

Ecuație omogenă

Definiție

Rădăcina de multiplicitate a unui polinom este un număr astfel încât acest polinom este divizibil fără rest cu dar nu cu . $k$ $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n)$ $c$ $(xc)^{k)$ $(xc)^{k+1}$

Ordine n ecuație

Ecuație omogenă:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0

integrat astfel:

Fie toate rădăcinile diferite ale polinomului caracteristic , care este partea stângă a ecuației caracteristice $\lambda _{1},\dots,\lambda _{k)$

a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0

multiplicitățile , respectiv, . $m_{1},m_{2},\dots,m_{k)$ $m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n$

Apoi funcțiile

t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

sunt soluții liniar independente (în general, complexe) ale unei ecuații omogene, ele formează un sistem fundamental de soluții .

Soluția generală a ecuației este o combinație liniară cu coeficienți constanți arbitrari (în general, complexi) ai sistemului fundamental de soluții.

Folosind formula lui Euler pentru perechile de rădăcini complexe conjugate , putem înlocui perechile corespunzătoare de funcții complexe din sistemul fundamental de soluții cu perechi de funcții reale de forma $\lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k$

t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t }\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

și construiți soluția generală a ecuației ca o combinație liniară cu coeficienți constanți reali arbitrari.

Ecuație de ordinul doi

Ecuație omogenă de ordinul doi:

a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0

integrat astfel:

Fie rădăcinile ecuației caracteristice $\lambda _{1},\lambda _{2)$

a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0

care este o ecuație pătratică .

Forma soluției generale a ecuației omogene depinde de valoarea discriminantului : $\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$

când ecuația are două rădăcini reale diferite $\Delta >0$

\lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}}.

Soluția generală arată astfel:

y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t)

la - două rădăcini reale coincidente $\Delta =0$

\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.

Soluția generală arată astfel:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t)

pentru , există două rădăcini conjugate complexe $\Delta <0$

\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.

Soluția generală arată astfel:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

Ecuație neomogenă

Ecuația neomogenă este integrată prin metoda variației constantelor arbitrare ( metoda Lagrange ).

Forma soluției generale a ecuației neomogene

Dacă o anumită soluție a ecuației neomogene este dată și este sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene corespunzătoare, atunci soluția generală a ecuației este dată de formula $y_{0}(t)$ $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),

unde sunt constante arbitrare. $c_{1},\dots,c_{n)$

Principiul suprapunerii

Ca și în cazul general al ecuațiilor liniare , există un principiu de suprapunere utilizat în diferite formulări ale principiului de suprapunere în fizică.

În cazul în care funcția din partea dreaptă constă din suma a două funcții

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)

o soluție particulară a unei ecuații neomogene constă și din suma a două funcții

y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)

unde sunt soluții ale ecuației neomogene cu laturile drepte , respectiv. $y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2)}$ $f_{j}(t),\\j\in {\overline {1,2)}$

Caz special: cvasi -polinom

În cazul în care este un cvasi-polinom, adică $f(t)$

f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)

unde sunt polinoame , se caută o soluție particulară a ecuației sub formă $p(t),\q(t)$

y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)) t^{s}

Unde

$P(t),\Q(t)$ polinoame, ai căror coeficienți se găsesc prin substituție în ecuație și calculul prin metoda coeficienților nedeterminați . $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\deg(q))$ $y_{0}(t)$
$s$ este multiplicitatea numărului complex ca rădăcină a ecuației caracteristice a ecuației omogene. $w=\alpha +i\beta$

În special, când

f(t)=p(t)e^{\alpha t)

unde este un polinom, se caută o soluție particulară a ecuației sub formă $p(t)$

y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s)

Iată un polinom, , cu coeficienți nedeterminați, care se găsesc prin substituirea în ecuație. este multiplicitatea ca rădăcină a ecuației caracteristice a ecuației omogene. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $y_{0}(t)$ $s$ $\alfa$

Când

f(t)=p(t)

unde este un polinom, se caută o soluție particulară a ecuației sub formă $p(t)$

y_{0}(t)=P(t)t^{s)

Aici este un polinom, , și este o multiplicitate de zero ca rădăcină a ecuației caracteristice a unei ecuații omogene. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $s$

Ecuația Cauchy-Euler

Ecuația Cauchy-Euler este un caz special al unei ecuații diferențiale liniare de forma:

\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}( \alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)

reductibilă la o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți printr-o substituție de forma . $(\alpha x+\beta)=e^{t)$

Aplicație

Ecuațiile diferențiale sunt cea mai utilizată și cea mai clasică formă de descriere matematică a proceselor. Diverse forme de descrieri matematice sunt un instrument pentru analiza analitică și sinteza sistemelor dinamice și a sistemelor automate de control. Ecuațiile diferențiale ai căror parametri depind de variabile se numesc neliniare și nu au soluții generale. În prezent, aparatul matematic al transformărilor integrale Laplace și Fourier este utilizat pe scară largă în teoria controlului automat. Din matematică se știe că D.C. este transformat compact în domeniul frecvenței. cu coeficienți constanți și în condiții inițiale zero. Și în teoria controlului, o astfel de ecuație este liniară. [unu]

Dacă un sistem dinamic este reprezentat de ecuații diferențiale neliniare ale fizicii matematice, atunci liniarizarea lor este necesară pentru a aplica metodele clasice de analiză a acestor sisteme .

Vezi și

O secvență liniară recurentă este un analog discret al unei ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.

Note

↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Management și inovație în ingineria energiei termice. - M: MPEI, 2011. - S. 41. - 392 p. - ISBN 978-5-38300539-2 .