Pendulul lui Kapitsa

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 noiembrie 2016; verificările necesită 8 modificări .

Pendulul lui Kapitza este un sistem format dintr-o greutate atașată la o spiță ușoară inextensibilă, care este atașată unei suspensii vibrante. Pendulul poartă numele academicianului și laureatului Nobel P. L. Kapitsa , care în 1951 a construit o teorie pentru a descrie un astfel de sistem [1] . Cu un punct de suspensie fix, modelul descrie un pendul matematic obișnuit , pentru care există două poziții de echilibru: în punctul de jos și în punctul de sus. În acest caz, echilibrul pendulului matematic în punctul de sus este instabil și orice perturbare arbitrar mică duce la o pierdere a echilibrului.

O caracteristică uimitoare a pendulului Kapitza este că, contrar intuiției, poziția inversată (verticală) a pendulului poate fi stabilă în cazul vibrațiilor rapide ale suspensiei. Deși o astfel de observație a fost făcută încă din 1908 de către A. Stephenson [2] , pentru o lungă perioadă de timp nu a existat o explicație matematică pentru motivele unei astfel de stabilități. P. L. Kapitsa a investigat experimental un astfel de pendul și a construit, de asemenea, o teorie a stabilizării dinamice, împărțind mișcarea în variabile „rapide” și „lente” și introducând un potențial eficient. Lucrarea lui P. L. Kapitza, publicată în 1951 [1] , a deschis o nouă direcție în fizică – mecanica vibrațională. Metoda lui PL Kapitsa este folosită pentru a descrie procesele oscilatorii din fizica atomică , fizica plasmei și fizica cibernetică . Potențialul efectiv care descrie „componenta lentă a mișcării” este descris în volumul „mecanica” al cursului de fizică teoretică de L. D. Landau [3] .

Pendulul lui Kapitza este de asemenea interesant deoarece într-un sistem atât de simplu se pot observa rezonanțe parametrice atunci când poziția inferioară de echilibru nu mai este stabilă și amplitudinea micilor abateri ale pendulului crește cu timpul [4] . De asemenea, cu o amplitudine mare a oscilațiilor de forțare, modurile haotice pot fi realizate în sistem, atunci când atractorii ciudați sunt observați în secțiunea Poincaré .

Notație

Să direcționăm axa vertical în sus, iar axa orizontală, astfel încât mișcarea plană a pendulului să aibă loc în planul ( - ). Să introducem notația: $y$ $X$ $X$ $y$

$\nu$ este frecvența oscilațiilor armonice verticale forțate ale suspensiei,
$A$ este amplitudinea vibrațiilor de forță,
$\omega _{0}={\sqrt {g/l)}$ este frecvența naturală a oscilațiilor pendulului matematic,
$g$ - accelerarea gravitației,
$l$ - lungimea tijei de lumină,
$m$ - greutatea încărcăturii.

Dacă unghiul dintre tijă și axă este notat cu , atunci dependența coordonatelor greutății în timp se va scrie prin următoarele formule: $y$ $\varphi$

\left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.

Pendulum Energy

Energia potenţială a pendulului în câmpul gravitaţional este dată de poziţia verticală a greutăţii ca

E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).

În energia cinetică, pe lângă termenul obișnuit care descrie mișcarea unui pendul matematic, există componente suplimentare cauzate de vibrația suspensiei: $E_{\text{kin}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2$

E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi ){\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).

Energia totală este dată de suma energiilor cinetice și potențiale , iar Lagrangianul sistemului este dat de diferența lor . $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ $L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$

Pentru un pendul matematic, energia totală este o cantitate conservată, astfel încât energia cinetică și energia potențială de pe graficul dependenței lor de timp sunt simetrice față de o dreaptă orizontală. Din teorema virală rezultă că energiile cinetice și potențiale medii într-un oscilator armonic sunt egale. Prin urmare, linia orizontală, față de care există simetrie și , corespunde la jumătate din energia totală. $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$ $t$ $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$

Dacă cardanul oscilează, atunci energia totală nu mai este conservată. Energia cinetică este mai sensibilă la vibrațiile forțate decât energia potențială. Energia potențială este limitată atât de sus cât și de jos: , în timp ce energia cinetică este limitată doar de jos: . La frecvențe înalte, energia cinetică poate fi mult mai mare decât energia potențială. $E_{\text{pot}}=mgy$ $-mg(l+a)<E_{\text{pot))<mg(l+a)$ $E_{\text{kin}}\geqslant 0$ $\nu$

Ecuația mișcării

Mișcarea pendulului satisface ecuațiile Euler-Lagrange . Dependența fazei pendulului de timp determină poziția greutății [5] : $\varphi$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }} .

Ecuație diferențială

{\ddot {\varphi}}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi {l)),

descriind evoluția fazei pendulului neliniar datorită multiplicatorului prezent în acesta . Prezența unui termen neliniar poate duce la un comportament haotic și la apariția unor atractori ciudați . $\sin \varphi$

Poziții de echilibru

Modelul pendulului Kapitza este mai general decât modelul pendulului matematic. Acesta din urma se obtine in cazul limitativ . Portretul de fază al unui pendul matematic este binecunoscut. Pe planul de coordonate, este doar un cerc . Dacă în momentul inițial de timp energia pendulului a fost mai mare decât energia potențială maximă , atunci traiectoria va fi închisă și ciclică. Dacă energia pendulului a fost mai mică , atunci va efectua oscilații periodice în jurul singurului punct de echilibru stabil cu cea mai mică valoare a energiei potențiale . În cazul unui pendul matematic, energia totală a sistemului nu se modifică. $a=0$ $x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const}$ $E>mgl$ $E<mgl$ $x=0,~y=-l$

În acest caz, sistemul nu mai este închis și energia sa totală se poate modifica. Dacă, în același timp, frecvența oscilațiilor de forțare este mult mai mare decât frecvența oscilațiilor naturale , atunci un astfel de caz poate fi analizat matematic . Rezultă [1] că, dacă introducem un potențial efectiv în care pendulul se mișcă (încet în raport cu frecvența ), atunci acest potențial poate avea două minime locale - una, ca înainte, în punctul inferior , iar cealaltă la nivelul punctul de sus . Adică, punctul de echilibru absolut instabil pentru pendulul matematic se poate dovedi a fi punctul de echilibru stabil pentru pendulul Kapitsa. $a\neq 0$ $\nu$ $\omega_0$ $\nu$ $(0,-l)$ $(0,l)$ $(0,l)$

Portret de fază

Pot fi obținute portrete de fază interesante pentru valorile parametrilor care nu sunt disponibile pentru considerații analitice, de exemplu, în cazul unei amplitudini mari a oscilației suspensiei [6] [7] . Dacă creștem amplitudinea oscilațiilor de forță la jumătate din lungimea pendulului , atunci obținem o imagine similară cu cea prezentată în figură. $a\aprox l$ $a=l/2$

Odată cu o creștere suplimentară a amplitudinii (începând de la valoarea ), întreg spațiul intern începe să se „unteze” complet, adică dacă mai devreme nu erau disponibile toate punctele interne ale spațiului de coordonate, acum sistemul poate vizita orice punct. Este evident că o nouă creștere a lungimii nu va mai schimba fundamental imaginea. $A$ $a=l$ $A$

Fapte interesante

După cum a observat P. L. Kapitsa, ceasurile cu pendul pe o bază vibrantă se grăbesc întotdeauna.
Pe coridorul Institutului de Probleme Fizice, era un model de lucru al pendulului lui Kapitsa și oricine dorea putea vedea singur cum, atunci când era pornit, pendulul se ridica și rămânea în poziție verticală.
Metoda potențială eficientă a fost dezvoltată de P. L. Kapitsa în timp ce lucra la un generator de înaltă frecvență „Nigotron”, numit după locul cercetării din casa sa de pe Nikolina Gora. Pentru a evita problemele cu „secretul” la publicarea metodei, P. L. Kapitsa vine cu un model fizic simplu căruia i-ar fi aplicată această metodă. Astfel, există articole [1] despre un pendul cu suspensie vibrantă.
P. L. Kapitsa s-a oferit să rezolve problema într-o versiune modificată celor care intră în școala absolventă. Era necesar să se găsească condiția de stabilitate pentru un acrobat pe o placă așezată pe un cilindru întins pe o parte. Răspunsul așteptat a fost că, dacă acrobatul începea să-și calce rapid peste picioare, atunci poziția lui devenea stabilă.
La mers , stabilitatea corpului crește de câteva ori în comparație cu stabilitatea în picioare. Acest fenomen biomecanic nu a fost încă studiat. Există o ipoteză care explică stabilitatea corpului la mers cu mișcări oscilatorii ale centrului articulației gleznei. Corpul uman este reprezentat din poziția unui pendul inversat cu un centru în zona articulațiilor gleznei, care capătă stabilitate în poziție verticală dacă centrul său oscilează în sus și în jos cu o frecvență suficient de mare (pendulul Kapitza).

Literatură

↑ 1 2 3 4 Kapitsa P.L. „Dynamic stability of a pendul with an oscillating suspension point” ZhETF, vol. 21, nr. 5. p. 588-597 (1951); Kapitsa P.L. „Pendul cu suspensie vibrantă”, UFN, vol. 44, nr. 1. S. 7-20 (1951).
↑ A. Stephenson „Despre o stabilitate indusă” Phil. Mag. 15, 233 (1908).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. - Ediția a 5-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 p. — („Fizica teoretică”, volumul I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Butikov E. I. „Pendul cu suspensie oscilantă (cu ocazia împlinirii a 60-a aniversare a pendulului Kapitza)”, manual Copie de arhivă din 12 iulie 2014 la Wayback Machine .
↑ Krainov V.P. Metode matematice selectate în fizica teoretică. Editura MIPT (1996).
↑ Astrakharchik G.E. și Astrakharchik N.A. „Research of the Kapitza pendulum” (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik „Numerical study of Kapitza pendulum”) arXiv:1103.5981 (2011)
↑ Vizualizarea în timp real a mișcărilor pendulului Kapitsa este disponibilă pe Internet pe site-uri Copie arhivată (link inaccesibil) . Consultat la 8 aprilie 2011. Arhivat din original la 1 octombrie 2011. (nedefinit) și http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Arhivat 2 mai 2011 la Wayback Machine Pendulum parametrii pot fi aleși arbitrar și introduși manual.