Metoda Adams

Metoda Adams este o metodă în mai multe etape cu diferențe finite pentru integrarea numerică a ecuațiilor diferențiale ordinare de ordinul întâi. Spre deosebire de metoda Runge-Kutta , pentru a calcula următoarea valoare a soluției dorite, aceasta utilizează nu una, ci mai multe valori care au fost deja calculate la punctele anterioare.

Numit după astronomul englez John C. Adams , care a propus-o în 1855 .

Definiție

Să fie dat sistemul de ecuații diferențiale de ordinul întâi

y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0)

pentru care este necesar sa se gaseasca o solutie pe o grila cu pas constant . Formulele de calcul ale metodei Adams pentru rezolvarea acestui sistem sunt următoarele: [1] $x_{n}-x_{0}=(n-1)h$

a) extrapolare - metoda Adams- Bashforth

y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda } )}

b) interpolare sau implicit - metoda Adams- Multon

y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n- \lambda})}

unde sunt unele constante calculate. $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$

Pentru aceeași formulă b) este mai precisă [2] , dar necesită rezolvarea unui sistem neliniar de ecuații pentru a găsi valoarea lui . În practică, se găsește o aproximare de la a), iar apoi se dau una sau mai multe rafinări conform formulei $k$ $y_{n+1}$

y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\ lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})

Proprietăți

Metodele Adams de ordinul al treilea necesită precalcularea soluției la punctele inițiale. Pentru a calcula valorile inițiale, se folosesc de obicei metode într-un singur pas, de exemplu, metoda Runge-Kutta în 4 etape de ordinul 4 de precizie. $k$ $k$

Eroarea locală a metodelor Adams de ordinul al-lea este . Structura de eroare a metodei Adams este de așa natură încât eroarea rămâne limitată sau crește foarte lent în cazul soluțiilor asimptotic stabile ale ecuației. Acest lucru face posibilă utilizarea acestei metode pentru a găsi soluții periodice stabile, în special pentru a calcula mișcarea corpurilor cerești. $k$ $O(h^{k})$

metode Adams-Bashforth

Metode explicite Adams-Bashforth [3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})

, ( metoda Euler )

{\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1} )-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\dreapta),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({ \frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1 })+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\dreapta),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left( {\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+ 2 })+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{ n })\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n + 4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2} , y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{ n },y_{n})\dreapta).\end{aliniat}}

metode Adams-Multon

Metode Adams-Multon implicite [3]

y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})

, (metoda Euler implicită)

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+ f(t_{n},y_{n})\dreapta),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\stanga({\frac {5}{12}}f(t_ {n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12} }f(t_{n},y_{n})\dreapta),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\stanga({\frac {3}{8}}f( t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24 }}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\dreapta),\\y_{n +4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{ 720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\dreapta). \end{aliniat}}

Note

↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „Bufnițe. enciclopedie " , 1988. - S. 43 .
↑ Interpolarea este mai precisă decât extrapolarea.
↑ 12 Hairer , Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare I: Probleme nonstiff (ed. a doua), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Bibliografie

Berezin I. S., Zhidkov N. P. Metode de calcul, vol. 2, M., 1959.
Bakhvalov N. S. , Metode numerice, ed. a II-a. M. 1975.

Metoda diferențelor finite
Articole generale	Metoda diferențelor finite schema de diferente ecuația diferențelor
Tipuri de scheme de diferențe	metoda Euler Metoda Runge-Kutta metoda Adams integrarea Werlet Metoda diferențelor finite în domeniul timpului