Schema de diferente

O schemă de diferențe este un sistem finit de ecuații algebrice asociate cu o problemă diferențială care conține o ecuație diferențială și condiții suplimentare (de exemplu, condiții la limită și/sau distribuție inițială ). Astfel, schemele de diferențe sunt folosite pentru a reduce o problemă diferențială, care are un caracter continuum, la un sistem finit de ecuații, a cărui soluție numerică este posibilă în mod fundamental pe computere. Ecuațiile algebrice asociate unei ecuații diferențiale se obțin prin aplicarea metodei diferențelor , care distinge teoria schemelor diferențelor de alte metode numericerezolvarea de probleme diferențiale (de exemplu, metode de proiecție, cum ar fi metoda Galerkin ).

Rezolvarea schemei de diferențe se numește soluția aproximativă a problemei diferențiale.

Deși definiția formală nu impune restricții semnificative asupra formei ecuațiilor algebrice, în practică are sens să luăm în considerare doar acele scheme care corespund cumva unei probleme diferențiale. Concepte importante ale teoriei schemelor diferențelor sunt conceptele de convergență, aproximare, stabilitate și conservatorism.

Proprietăți ale schemelor de diferențe

Să introducem următoarea notație:

u(t)

este soluția exactă a ecuației diferențiale.

u_{h}(t)

- rezolvarea exactă a schemei de diferenţe

{\tilde {u}}_{h}(t)

- rezolvarea numerică a schemei de diferențe (cu rotunjire)

Atunci sarcina are următoarele caracteristici:

\|u(t+\Delta t)-u(t)\|

- responsabil pentru condiționalitatea sarcinii (condiționare) (Un analog al condiționalității pentru difur este stabilitatea în sensul sistemelor dinamice , stabilitatea Lyapunov este adesea folosită )

iar soluția numerică are următoarele caracteristici:

\|u_{h}(t)-u(t)\|

- responsabil pentru aproximarea prin schema de diferențe a problemei ( consistență , de:Konsistenz_(Numerik) )

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u_{h}(t)\|

- responsabil pentru stabilitatea schemei de diferențe în soluția numerică (stabilitate)

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u(t)\|

- responsabil pentru convergența soluției numerice (la soluția exactă) (convergența)

Aproximare

Se spune că un operator diferențial definit pe funcții definite în domeniu este aproximat pe o anumită clasă de funcții de un operator cu diferențe finite definit pe funcții definite pe o grilă în funcție de pasul în care condiția de convergență este îndeplinită $Lu)$ $u$ $D\subset {\mathbb {R}}^{N}$ $u\în U$ $R_{h}(u_{h})$ $u_{h}$ $h$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\to 0,\ \ h\to 0\ \ \ (\forall u\in U).

Se spune că o aproximare este de ordinul preciziei dacă $k$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\leq h^{k}M,\ \ h\la 0\ \ \ (\forall u\in U),

unde este o constantă care depinde de funcția specifică , dar nu depinde de pas . Norma folosită mai sus poate fi diferită, iar conceptul de aproximare depinde de alegerea sa. Un analog discret al normei de continuitate uniformă este adesea folosit : $M$ $u\în U$ $h$

||u_{h}||=\max _{{n}}|u_{h}(x_{n})|,

uneori se folosesc analogi discreti ai normelor integrale [1] [2] .

Exemplu . Aproximarea unui operator printr-un operator de diferență finită $L(u)=u_{{xx}}$

R_{h}(u_{h})(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}} },\quad u_{i}=u(x_{i}),\quad x_{i+1}=x_{i}+h,

pe un interval mărginit are ordinul doi de precizie pe clasa funcțiilor netede . $D\subset {\mathbb {R}}$ $U=C^{4}(D)$

Dovada

Folosind formula Taylor

u_{n \pm 1} = u_n \pm h u_x(x_n) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_n) \pm \frac{h^3}{3!} u_{xxx }(x_n) + \frac{h^4}{4!} u_{xxxx}(x_n+\xi_{\pm}), \quad \xi_{\pm} \in (0, \pm h),

rezultând o estimare:

{\bigl |}u_{{xx}}(x_{n})-R_{h}(u_{h})(x_{n}){\bigr |}={\frac {1}{h^{ 2}}}\,{\bigl |}u_{{n+1}}-2u_{{n}}+u_{{n-1}}-h^{2}u_{{xx}}(x_{ n}){\bigr |}={\frac {h^{2}}{4!}}\,{\Bigl |}u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{+} })+u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{-}}){\Bigr |}\leq {\frac {h^{2}}{4!}}\,C,

unde este o constantă

C=2\sup \limits _{{x\in D}}|u_{{xxxx}}(x)|<\infty .

O problemă cu diferențe finite aproximează o problemă diferențială, iar aproximarea are un ordin de precizie dacă atât ecuația diferențială în sine, cât și condițiile la limită (și inițiale) sunt aproximate de operatorii corespunzători diferențelor finite cu un ordin de precizie nu mai mic de . $k$ $k$

Exemplu . Aproximarea ecuației căldurii (schema cu diferențe parțiale) printr-o ecuație cu diferențe finite , unde $u_{{t}}-u_{{xx}}=0$ $R_{h}(u_{h})=0$

R_{h}(u_{h})(t_{m},x_{n})={\frac {u_{n}^{{m+1}}-u_{n}^{{m}}} {\Delta t))-{\frac {u_{{n+1}}^{m}-2u_{{n}}^{m}+u_{{n-1}}^{m}}{h ^{2}}},

u_{j}^{i}=u(t_{i},x_{j}),\quad t_{{i+1}}=t_{{i}}+\Delta t,\quad x_{{j +1}}=x_{{j}}+h,\quad \Delta t=\sigma h^{2},\quad \sigma =const>0,

are al doilea ordin de precizie în coordonate și primul ordin al preciziei în timp pe clasa funcțiilor -smooth. $C^{4}$

Sustenabilitate

Condițiile de aproximare nu sunt suficiente pentru ca rezultatul schemei de diferențe să se apropie de răspunsul exact pentru h→0 . În cazul circuitelor ai căror coeficienți nu depind de soluția ecuației diferențiale, trebuie îndeplinită condiția de stabilitate. Astfel de circuite pot fi reprezentate ca un fel de operator liniar care transformă valorile funcției la momentul t în valorile funcției la momentul t+h . Condiția de stabilitate necesită ca valorile proprii ( complexe în general ) ale acestui operator să nu depășească 1+ch în modul , unde c>0 este o constantă , ca h→0 . Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci erorile de circuit cresc rapid și rezultatul este mai rău, cu cât pasul este mai mic.

Convergență

Convergența unei soluții numerice este înțeleasă ca convergența acesteia la soluția exactă pe măsură ce treapta grilei h scade.

\lim _{h\to 0+}\|{\tilde {y}}_{h}(t)-y(t_{n})\|=0.

(În sensul normei grilei)

Dacă atât condiția de aproximare, cât și condiția de stabilitate sunt îndeplinite, atunci rezultatul schemei de diferențe converge către soluția unei ecuații diferențiale ( teorema Filippov-Ryaben'kii ). [1] [3] În literatura străină, această teoremă este numită „ teorema echivalenței Lax (en) ”.

Starea lui Courant

Condiția Courant sau Criteriul Courant-Friedrichs-Levy (CFL) — viteza de propagare a perturbațiilor într-o problemă de diferență nu ar trebui să fie mai mică decât într-una diferențială. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci rezultatul schemei de diferențe poate să nu țină să rezolve ecuația diferențială. Cu alte cuvinte, într-o singură etapă de timp, particula nu ar trebui să „trece prin” mai mult de o celulă.

În cazul circuitelor ai căror coeficienți nu depind de soluția ecuației diferențiale, din stabilitate decurge condiția Courant.

Pentru sistemele de ecuații hiperbolice , această condiție ia adesea forma

$\tau \leq \min \left({\frac {h}{|\lambda |_{{max}}}}\right)$

( este pasul de timp, este pasul grilei spațiale, este valoarea proprie modulo maximă la punctul. Minimul este luat peste toate punctele grilei.) $\tau$ $h$ $|\lambda |_{{max}}$

Clasificarea schemelor

Scheme explicite

Circuitele explicite calculează valoarea unei funcții grilă din datele de puncte învecinate. Un exemplu de schemă explicită de diferențiere: (ordinul 2 de aproximare). Schemele explicite sunt adesea instabile. $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Conform teoremei lui Godunov , printre schemele de diferențe liniare pentru ecuația de transport cu un ordin de aproximare mai mare decât prima, nu există unele monotone.

Scheme implicite

Schemele implicite folosesc ecuații care exprimă date în termeni de mai multe puncte de rezultat adiacente. Pentru a găsi rezultatul, se rezolvă un sistem de ecuații liniare. Un exemplu de schemă implicită pentru ecuația șirurilor: . Schemele implicite sunt de obicei stabile. $f(x,t+h)-2f(x,t)+f(x,th)=f(x+h,t+h)-2f(x,t+h)+f(xh,t+h) )$

Scheme semi-implicite

La unii pași se folosește o schemă explicită, la altele, una implicită (de regulă, acești pași se alternează).
Exemplu - Schema Crank-Nicholson, când decizia este luată ca medie a schemelor de decizie explicite și implicite pentru a îmbunătăți acuratețea

Circuite compacte

Diagramele compacte folosesc ecuații care relaționează valorile rezultate din mai multe puncte adiacente cu valorile datelor din mai multe puncte adiacente. Acest lucru face posibilă creșterea ordinii de aproximare. Un exemplu de schemă compactă de diferențiere: (al patrulea ordin de aproximare). ${\frac {1}{6}}f'(xh)+{\frac {2}{3}}f'(x)+{\frac {1}{6}}f'(x+h)= {\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Scheme conservatoare

Când schema de diferențe satisface aceleași relații integrale (de exemplu, conservarea energiei, entropia) ca și ecuația diferențială originală, atunci se vorbește despre proprietatea conservatorismului. Schemele conservatoare sunt de obicei prezentate în formă divergentă.

Exemple de scheme conservatoare ale hidrodinamicii sunt schema lui Samarsky , metoda particulelor mari a lui Belotserkovsky .

Scheme pe grile offset

În aceste scheme de grilă, în care rezultatul este setat și datele sunt compensate unele de altele. De exemplu, punctele rezultate sunt la mijloc între punctele de date. În unele cazuri, acest lucru permite utilizarea unor condiții la limită mai simple.

Vezi și

Link -uri

„Scheme de diferențe” - capitolul Wikibooks despre „Scheme de diferențe pentru ecuații hiperbolice”
Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Schemă de diferențe monotone hibride implicite de ordinul doi de precizie
Ryaben'kiy V. S. , Filippov A. F. Despre stabilitatea ecuațiilor diferențelor. — M .: Gostekhizdat, 1956.
Godunov S. K. , Ryaben'kiy V. S. Introducere în teoria schemelor diferențelor. — M .: Fizmatgiz, 1962.
Babenko K. I. Fundamentele analizei numerice. — M .: Nauka, 1986.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul, - Orice ediție.
Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Metode numerice, - Orice ediție.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Metode ale matematicii computaționale]. — M .: Nauka, 1977.
Shishkin GI Grid aproximări ale ecuațiilor eliptice și parabolice perturbate singular. - Ekaterinburg: Filiala Ural a Academiei Ruse de Științe, 1992. - ISBN 5-7691-0159-8 .

Note

↑ 1 2 Ryaben'kii V. S., Filippov A. F. Despre stabilitatea ecuațiilor la diferență. M., Gostekhizdat, 1956.
↑ Godunov S.K., Ryabenky V.S. Introducere în teoria schemelor diferențelor. Moscova: Fizmatgiz, 1962.
↑ Babenko K.I. Fundamentele analizei numerice. M.: Știință. 1986.

Metoda diferențelor finite
Articole generale	Metoda diferențelor finite schema de diferente ecuația diferențelor
Tipuri de scheme de diferențe	metoda Euler Metoda Runge-Kutta metoda Adams integrarea Werlet Metoda diferențelor finite în domeniul timpului