Metoda Sturmer-Werlet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 mai 2021; verificările necesită 2 modificări .

Metoda Sturmer-Werlet este o metodă numerică de rezolvare a problemei Cauchy pentru ecuații diferențiale . Adesea folosit pentru a găsi traiectoria unui punct material care se mișcă conform legii : pentru a calcula traiectoriile particulelor în modelele de dinamică moleculară și în jocurile pe computer. Metoda Werlet este mai stabilă decât metoda Euler mai simplă și, în același timp, are și alte calități necesare pentru simularea în timp real a proceselor fizice. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Istorie și titluri

A fost folosit [1] de Isaac Newton în prima carte a Principia pentru a demonstra a doua lege a lui Kepler .

Numit după fizicianul francez Lou Werle , care a folosit metoda pentru a modela dinamica moleculară, și astrofizicianul norvegian Carl Störmer .

Metoda (și echivalentele sale) este numită diferit în funcție de domeniul de aplicare [1] [2] :

metoda lui Sturmer , metoda lui Encke - în astronomie;
metoda Werlet - în dinamică moleculară;
metoda broaștei ( ing. leapfrog ) - în domeniul ecuațiilor cu diferențe parțiale .

Algoritm de bază

Algoritmul Verlet este folosit pentru a calcula următoarea locație a unui punct din prezent și din trecut, fără a utiliza viteza. Formula se obține după cum urmează. Expansiunea seriei Taylor a vectorului de locație a punctului în puncte de timp și se scrie : ${\vec {x}}(t)$ $(t+\Delta t)$ $(t-\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

Unde

{\vec {x}}

- coordonatele punctului,

\vec{v}

- viteza,

{\vec {a}}

-accelerare,

{\vec {b}}

- smucitură ( derivată a accelerației în funcție de timp).

Adăugând aceste 2 ecuații și exprimând , obținem ${\vec {x}}(t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Astfel, valoarea vectorului rază a unui punct poate fi calculată fără a se cunoaște viteza.

Caracteristici

Caracteristica principală a algoritmului este capacitatea de a impune diverse restricții asupra sistemului de puncte. De exemplu, puteți conecta unele dintre ele cu tije solide de o lungime dată. În acest caz, algoritmul funcționează după cum urmează:

Se calculează noile poziții ale corpurilor (vezi formula de mai sus).
Pentru fiecare conexiune, constrângerea corespunzătoare este îndeplinită, adică distanța dintre puncte este făcută așa cum ar trebui.
Pasul 2 se repetă de mai multe ori, astfel toate condițiile sunt îndeplinite (sistemul de condiții este permis).

Această metodă, în ciuda repetării repetate a pasului 2, este foarte eficientă.

Proprietăți

Metoda este o metodă caracteristică de integrare geometrică numerică și are următoarele proprietăți [2] [3] :

aparține clasei de metode liniare generale cu un singur pas;
are ordinul 2 de precizie;
este un integrator simetric (auto-adjunct);
este un integrator simplectic ;
păstrează volumul de fază pentru un număr de sisteme;
păstrează primele integrale liniare ale sistemelor.

Poate fi considerat ca:

metoda lui Nyström de ordinul 2;
alcătuirea metodei simplectice a lui Euler cu adjunctul ei;
metoda de divizare pentru sisteme de forma ; ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
Metoda divizată Runge-Kutta definite tabelele Butcher ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 unu unu / 2 unu / 2 unu / 2 unu / 2 unu / 2 unu / 2 0 unu / 2 unu / 2 0 unu / 2 unu / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Aplicație

Metoda a câștigat popularitate în rândul dezvoltatorilor de jocuri pe computer în 2000 odată cu lansarea jocului Hitman: Codename 47 .

Note

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Integrare numerică geometrică ilustrată prin metoda Störmer–Verlet // Acta Numerica. — 2003-5. — Vol. 12 . — P. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 . - doi : 10.1017/S0962492902000144 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Integrare numerică geometrică . - Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Seria Springer în matematică computațională). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. O introducere concisă în integrarea numerică geometrică . — Chapman și Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monografii și note de cercetare în matematică). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Arhivat 3 iunie 2018 la Wayback Machine

Link -uri

Metoda diferențelor finite
Articole generale	Metoda diferențelor finite schema de diferente ecuația diferențelor
Tipuri de scheme de diferențe	metoda Euler Metoda Runge-Kutta metoda Adams integrarea Werlet Metoda diferențelor finite în domeniul timpului